熱平衡と熱量の保存

高温の物体が失った熱量＝低温の物体（容器を含む）が得た熱量の式を立てて、熱平衡の温度や未知の比熱・熱容量を求められる

前提

熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）

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算数中学高校大学大学院

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熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）

説明

温度の違う物体どうしを接触させたり混ぜたりしたときに、最後に落ち着く温度（熱平衡の温度）を求めたり、その温度の測定から未知の比熱や熱容量を求めたりできるようになります。熱量計（断熱容器に水を入れた装置）を使った比熱の測定や、湯と水を混ぜたときの温度の計算などで使います。外に熱が逃げないとき、『高温の物体が失った熱量＝低温の物体が得た熱量』という 1 本の式を立てるのがこの技能の中心です。

なぜそうしてよいのか

温度の違う物体を接触させると、熱は高温の物体から低温の物体へ移ります。高温側の温度は下がり、低温側の温度は上がり、やがて両者の温度が等しくなると熱の移動は止まります。この状態を熱平衡といい、そのときの共通の温度を熱平衡の温度とよびます。高温側の温度は下がる一方で、低温側の温度は上がる一方なので、熱平衡の温度は必ず最初の 2 つの温度の間の値になります。

熱はエネルギーの移動なので、外部（空気や机など）との熱のやりとりがないとき、高温の物体から出ていった熱量は、どこにも消えずにすべて低温の物体に入ります。前提の技能で学んだように、温度変化に伴う熱量は $Q = m c Δ T$ や $Q = C Δ T$ で表せます。そこで、高温側については『はじめの温度 − 最後の温度』、低温側については『最後の温度 − はじめの温度』を温度変化として使うと、どちらの熱量も正の量になり、
$（高温側が失った熱量） = （低温側が得た熱量）$
という等式（熱量の保存）が成り立ちます。

容器も物体の一つです。水と同じ温度だった容器は、水と一緒に温められるので、容器の熱容量 $C$ を使って $C Δ T$ の熱量を受け取ります。これを忘れずに低温側に加えます。未知数（最後の温度、比熱、熱容量など）が 1 つなら、この 1 本の式から求められます。

手順

熱をやりとりする物体をすべて書き出し、それぞれの質量・比熱（または熱容量）・はじめの温度を整理する。容器も忘れずに入れる。
熱平衡の温度を $t$ とおく（与えられていればその値を使う）。 $t$ は最初の高温と低温の間にあることを確認する。
高温側が失った熱量を書く： $Q_{失} = m_{1} c_{1} (T_{1} - t)$ （はじめの温度 − 最後の温度）。
低温側（容器を含む）が得た熱量を書く： $Q_{得} = m_{2} c_{2} (t - T_{2}) + C (t - T_{2})$ （最後の温度 − はじめの温度）。
熱量の保存 $Q_{失} = Q_{得}$ の式を立て、未知数について解く。単位（g と kg、J/(g·K) と J/(kg·K)）がそろっているか確認する。

例題

熱容量 $60 J/K$ の断熱容器に、温度 $20^{\circ} C$ の水 $200 g$ が入っている。容器と水は同じ温度である。ここに、 $80^{\circ} C$ に熱した質量 $300 g$ の金属球を入れたところ、全体の温度が $30^{\circ} C$ になって一定となった。水の比熱を $4.2 J/ (g \cdot K)$ とし、熱は容器・水・金属球の間でのみやりとりされ、外部には逃げないものとする。金属球の比熱は何 $J/ (g \cdot K)$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：高温側は金属球（ $300 g$ 、比熱 $c$ 、 $80^{\circ} C$ ）、低温側は水（ $200 g$ 、 $4.2 J/ (g \cdot K)$ 、 $20^{\circ} C$ ）と容器（ $60 J/K$ 、 $20^{\circ} C$ ）。

手順2：熱平衡の温度は $30^{\circ} C$ と与えられている。 $20 < 30 < 80$ なので矛盾はない。

手順3：金属球が失った熱量は、温度変化が $80 - 30 = 50 K$ なので
$Q_{失} = 300 \times c \times 50 = 15000 c [J]$

手順4：水と容器が得た熱量は、温度変化が $30 - 20 = 10 K$ なので
$Q_{得} = 200 \times 4.2 \times 10 + 60 \times 10 = 8400 + 600 = 9000 [J]$

手順5：熱量の保存より $15000 c = 9000$ 。よって
$c = \frac{9000}{15000} = 0.60 [J/ (g \cdot K)]$

答え: $0.60$

よくある誤り

低温側の熱量に容器を入れ忘れる誤り。例題で $15000 c = 8400$ として $c = 0.56$ としてしまう。正しくは容器が得た $60 \times 10 = 600 J$ も加えて $15000 c = 8400 + 600$ とする。
温度変化を両方とも『最後 − はじめ』で書いたまま『失った＝得た』とおく誤り。例えば $300 c (30 - 80) = 200 \times 4.2 \times (30 - 20) + \dots$ とすると左辺が負になり $c < 0$ という不合理な結果になる。正しくは高温側は $(80 - 30)$ 、低温側は $(30 - 20)$ とする（または符号付きの熱量の合計を $0$ とおく： $300 c (30 - 80) + (840 + 60) (30 - 20) = 0$ ）。
質量と比熱の単位をそろえない誤り。比熱が $4.2 J/ (g \cdot K)$ なのに質量を $0.2 kg$ として $0.2 \times 4.2 \times 10$ と計算してしまう。正しくは g 単位の比熱には g 単位の質量 $200$ を使う（kg を使うなら比熱を $4.2 \times 1 0^{3} J/ (kg \cdot K)$ にする）。
熱平衡の温度を単純に平均 $\frac{T _{1} + T _{2}}{2}$ としてしまう誤り。正しくは熱容量（ $m c$ や $C$ ）が大きい物体ほど温度が変わりにくいので、熱量の保存の式 $m_{1} c_{1} (T_{1} - t) = m_{2} c_{2} (t - T_{2})$ を解いて求める。平均になるのは両者の熱容量が等しいときだけである。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

融解熱・蒸発熱と状態変化（高校物理熱と気体）
不可逆過程と全エントロピー変化（大学物理熱力学）