融解熱・蒸発熱と状態変化

融解熱・蒸発熱 $Q = m L$ を熱量の保存に組み込み、氷が全部とけるかを判定して、熱平衡での温度や残る氷の質量を求められる

前提

熱平衡と熱量の保存（高校物理熱と気体）

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算数中学高校大学大学院

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熱平衡と熱量の保存（高校物理熱と気体）

説明

氷がとけたり水が沸騰したりするときは、温度が変わらないまま熱が出入りします。その熱量は、物質 1 g あたりの値（融解熱・蒸発熱） $L$ を使って $Q = m L$ と表せます。この式を熱量の保存の式に加えると、水に氷を入れたときに「氷が全部とけるか」を判定できます。そのうえで、熱平衡の温度や、とけ残る氷の質量を求められます。なお、このページでは、氷ははじめ 0 °C である場合だけを扱います。

なぜそうしてよいのか

0 °C の氷を熱すると、氷がとけきるまで温度は 0 °C のまま変わりません。このとき加えた熱は温度を上げることには使われず、固体の粒子どうしのつながりをほどいて液体に変えることに使われます。同じ物質なら、とかす量が 2 倍になれば必要な熱も 2 倍です。そこで、1 g をとかすのに必要な熱量を融解熱 $L$ [J/g] と決めると、 $m$ [g] をとかす熱量は $Q = m L$ となります。液体が沸点で気体になるときも同じで、1 g あたりの熱量を蒸発熱といいます（水では約 $2.3 \times 1 0^{3}$ J/g）。逆向きの変化、つまり水が凍るときや水蒸気が液体にもどるときは、同じ大きさの熱を放出します。

熱量の保存（失った熱量＝得た熱量）は、状態変化があってもそのまま成り立ちます。得た熱量の中に、温度変化の分 $m c Δ t$ と状態変化の分 $m L$ の両方を入れればよいのです。

ただし、氷が全部とけるかどうかで式の形が変わります。はじめ 0 °C の氷を、0 °C より温かい水に入れる場合を考えます。このとき、0 °C より冷たいものは何もないので、温度が 0 °C より下がることはありません。また、0 °C より上では氷は存在できません。したがって、氷が残っていれば温度は 0 °C です。そこで先に、2 つの熱量を比べます。1 つは、温かい側が 0 °C まで冷えるときに出せる熱量の最大値です。もう 1 つは、氷を全部とかすのに必要な熱量です。この比較で、どちらの場合かが決まります。（氷がはじめ 0 °C 未満だと、まわりの水が凍って 0 °C 未満になることもあり、判定のしかたが変わります。この場合はこのページでは扱いません。）

手順

記号を決める。水の質量 $m_{水}$ 、はじめの温度 $t_{水}$ （0 °C より高い）、水の比熱 $c$ 、容器の熱容量 $C$ （容器ははじめ水と同じ温度）、0 °C の氷の質量 $m_{氷}$ 、融解熱 $L$ とする
温かい側（水と容器）が 0 °C まで冷えるときに出せる熱量を求める： $Q_{出} = (m_{水} c + C) (t_{水} - 0)$ （容器を考えないときは $C = 0$ ）
氷を全部とかすのに必要な熱量を求める： $Q_{要} = m_{氷} L$ （氷ははじめ 0 °C なので、温める分はない）
$Q_{出}$ と $Q_{要}$ を比べる。 $Q_{出} > Q_{要}$ なら氷は全部とけ、最終温度 $t$ は 0 °C より高い。 $Q_{出} < Q_{要}$ なら氷が残り、最終温度は 0 °C。 $Q_{出} = Q_{要}$ なら、ちょうど全部とけて 0 °C になる
全部とける場合は、とけてできた水（比熱は水の $c$ ）が 0 °C から $t$ まで温まる分も入れて式を立て、 $t$ を求める： $(m_{水} c + C) (t_{水} - t) = m_{氷} L + m_{氷} c (t - 0)$ 。求めた $t$ が $t > 0$ かを確かめる
氷が残る場合は、とけた質量を $x$ として $xL = Q_{出}$ から $x = \frac{Q _{出}}{L}$ を求める。残る氷は $m_{氷} - x$ 。 $0 < x < m_{氷}$ になっているかを確かめる

例題

温度 20 °C の水 300 g に、温度 0 °C の氷 100 g を入れ、よくかき混ぜて熱平衡にした。水の比熱を 4.2 J/(g·K)、氷の融解熱を 336 J/g とする。熱は水と氷の間だけでやりとりされ、容器や外部との熱の出入りは無視する。熱平衡になったとき、とけずに残っている氷の質量は何 g か求めよ。

例題の解答

【手順1】 $m_{水} = 300$ g、 $t_{水} = 20$ °C、 $c = 4.2$ J/(g·K)、容器は考えないので $C = 0$ 、 $m_{氷} = 100$ g、 $L = 336$ J/g。
【手順2】20 °C の水が 0 °C まで冷えるときに出せる熱量は $Q_{出} = 300 \times 4.2 \times (20 - 0) = 25200$ J。
【手順3】氷 100 g を全部とかすのに必要な熱量は $Q_{要} = 100 \times 336 = 33600$ J。
【手順4】 $Q_{出} = 25200 J < Q_{要} = 33600 J$ なので、氷は全部はとけない。最終温度は 0 °C。
【手順6】とけた氷の質量を $x$ [g] とすると、 $x \times 336 = 25200$ より $x = 75$ g。残る氷は $100 - 75 = 25$ g。 $0 < 75 < 100$ なので、判定と矛盾しない。

答え: $25$

よくある誤り

判定をせずに、いきなり「全部とける」と考えて温度の式を立ててしまう誤り。例題の数値で $300 \times 4.2 \times (20 - t) = 100 \times 336 + 100 \times 4.2 \times t$ を解くと $t = - 5$ °C となり、0 °C より低くなって矛盾する。正しくは、先に $Q_{出}$ と $Q_{要}$ を比べる。 $Q_{出} < Q_{要}$ なら氷が残るので、温度は 0 °C と決まる。
融解熱に温度差を掛けて $Q = m L Δ t$ としてしまう誤り。状態変化の間は温度が変わらない。正しくは $Q = m L$ で、温度変化の分 $m c Δ t$ とは別々に足す。
全部とける場合に、とけてできた水が 0 °C から $t$ まで温まる熱を忘れてしまう誤り。例えば $m_{水} c (t_{水} - t) = m_{氷} L$ だけで解いてしまうのは誤り。正しくは右辺に $m_{氷} c (t - 0)$ を加え、 $m_{水} c (t_{水} - t) = m_{氷} L + m_{氷} c t$ とする。とけた後は水なので、ここで使う比熱は氷の比熱ではなく水の比熱 $c$ である。容器があれば、左辺に $C (t_{水} - t)$ も加える。
単位をそろえずに計算してしまう誤り。融解熱が $3.36 \times 1 0^{5}$ J/kg で与えられたら、質量は kg で入れる（100 g なら $0.100 \times 3.36 \times 1 0^{5} = 3.36 \times 1 0^{4}$ J）。J/g と J/kg を混ぜると、答えが 1000 倍ずれる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

潜熱輸送と降水量（高校地学大気と気象）
相平衡とクラウジウス・クラペイロンの式（大学物理熱力学）