熱と気体の問題

手順 1：氷が全部とけるかを判定する

$40{}^{\circ }\mathrm{C}$ の水 $200\mathrm{g}$ が $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ まで冷えるときに失う熱量は、$Q=mc\Delta T$ より
$$200\times 4.2\times (40-0)=33600\mathrm{J}$$
$0{}^{\circ }\mathrm{C}$ の氷 $50\mathrm{g}$ をすべてとかすのに必要な熱量は、融解熱の式 $Q=mL$ より
$$50\times 336=16800\mathrm{J}$$
$33600\mathrm{J}>16800\mathrm{J}$ なので、水が $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ まで冷える前に氷はすべてとける。よって、熱平衡の温度 $t{[}^{\circ }\mathrm{C}]$ は $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ より高い。

手順 2：熱量の保存の式を立てる

外部との熱のやりとりがないので、高温の水が失った熱量と、氷が得た熱量は等しい。氷が得る熱量は、次の 2 つの和である。
- $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ の氷がとけて $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ の水になる：$50\times 336=16800\mathrm{J}$
- とけてできた $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ の水 $50\mathrm{g}$ が $t{[}^{\circ }\mathrm{C}]$ になる：$50\times 4.2\times (t-0)=210t[\mathrm{J}]$

$40{}^{\circ }\mathrm{C}$ の水が $t{[}^{\circ }\mathrm{C}]$ まで冷えて失う熱量は $200\times 4.2\times (40-t)=840(40-t)[\mathrm{J}]$ である。よって
$$840(40-t)=16800+210t$$

手順 3：解く
$$33600-840t=16800+210t$$
$$1050t=16800$$
$$t=16$$

よって、熱平衡での水の温度は $16{}^{\circ }\mathrm{C}$ である。

氷がすべて融けると仮定し、最終温度を $t$ ℃ とする。
水が失う熱量: $200\times 4.2\times (40-t)=840(40-t)$ J
氷が融けるのに必要な熱量: $50\times 336=16800$ J
融けた水が $0$ ℃ から $t$ ℃ になるのに必要な熱量: $50\times 4.2\times t=210t$ J
熱量の保存より $840(40-t)=16800+210t$
$33600-840t=16800+210t$
$16800=1050t$ より $t=16$ ℃

確認: 氷がすべて融ける条件として、200 g の水が 40 ℃ から 0 ℃ まで下がるときに放出する熱は $840\times 40=33600$ J で、氷 50 g を融かす 16800 J より大きい。よって氷はすべて融け、$t=16>0$ で矛盾しない。
検算: 水が失う熱は $840\times 24=20160$ J、氷が得る熱は $16800+210\times 16=16800+3360=20160$ J で一致する。

答え: 16 ℃