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熱と気体の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理熱と気体

温度 $80^{\circ} C$ に熱した質量 $200 g$ の金属球を、断熱容器に入った温度 $20^{\circ} C$ 、質量 $300 g$ の水の中に静かに入れた。しばらくすると、金属球と水は同じ温度になった（熱平衡に達した）。このときの温度は何 $^{\circ} C$ か。

ただし、金属の比熱を $0.45 J/ (g \cdot K)$ 、水の比熱を $4.2 J/ (g \cdot K)$ とする。熱は金属球と水のあいだでだけやりとりされるものとし、容器の熱容量や外部への熱の出入り、水の蒸発は無視する。

金属球

200 g

（

80^{\circ} C

）水

300 g

（

20^{\circ} C

）

この問題で使うもの

熱平衡と熱量の保存（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（18 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「熱平衡と熱量の保存」を使います。外部との熱の出入りがないので、「金属球が失った熱量＝水が得た熱量」が成り立ちます。

ヒント 2

熱平衡の温度を $t$ とおき、金属球が失った熱量を $200 \times 0.45 \times (80 - t)$ 、水が得た熱量を $300 \times 4.2 \times (t - 20)$ と表します。

ヒント 3

$90 (80 - t) = 1260 (t - 20)$ の両辺を $90$ で割ると $80 - t = 14 (t - 20)$ になります。これを $t$ について解きましょう。

答えと解説

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24

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解説を読む

考え方：熱は高温の金属球から低温の水へ移り、両者の温度が等しくなったところで止まる（熱平衡）。外部との熱の出入りがないので、熱量の保存が成り立つ。
$金属球が失った熱量 = 水が得た熱量$

手順1：熱平衡の温度を文字でおく。
熱平衡の温度を $t [^{\circ} C]$ とする。 $t$ は $20$ と $80$ のあいだにある。

手順2：それぞれの熱量を $Q = m c Δ T$ で表す。
温度変化は「高い温度 − 低い温度」として、正の量で表す。

金属球は $80^{\circ} C$ から $t$ まで下がるので、失った熱量は
$Q_{1} = 200 \times 0.45 \times (80 - t) = 90 (80 - t) [J]$
水は $20^{\circ} C$ から $t$ まで上がるので、得た熱量は
$Q_{2} = 300 \times 4.2 \times (t - 20) = 1260 (t - 20) [J]$

手順3：熱量の保存の式を立てて解く。
$Q_{1} = Q_{2}$ より
$90 (80 - t) = 1260 (t - 20)$
両辺を $90$ で割ると
$80 - t = 14 (t - 20)$
$80 - t = 14 t - 280$
$15 t = 360$
$t = 24$

$20 < 24 < 80$ であり、確かに水と金属球のもとの温度のあいだにある。

よって、熱平衡の温度は $24^{\circ} C$ である。

別解

金属球の熱容量は $200 \times 0.45 = 90 J/K$ 、水の熱容量は $300 \times 4.2 = 1260 J/K$ 。熱平衡の温度を $t^{\circ} C$ とすると、金属球が失う熱量と水が得る熱量は等しいので
$90 (80 - t) = 1260 (t - 20)$
両辺を 90 で割ると $80 - t = 14 (t - 20)$ 、すなわち $80 - t = 14 t - 280$ 。よって $15 t = 360$ 、 $t = 24$ 。
検算：金属球が失う熱量は $90 \times 56 = 5040 J$ 、水が得る熱量は $1260 \times 4 = 5040 J$ で一致する。
したがって熱平衡の温度は $24^{\circ} C$ 。

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