潜熱輸送と降水量

地表から大気への潜熱輸送量（ $W/ m^{2}$ ）と水の蒸発熱から、1 年間に蒸発する水の量を求め、蒸発量と降水量が等しいとして平均年降水量（mm）を求められる

前提

地球の熱収支（高校地学大気と気象）
融解熱・蒸発熱と状態変化（高校物理熱と気体）

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説明

地球の熱収支で出てくる「潜熱輸送」は、地表の水が蒸発するときに地表から熱を奪い、その水蒸気が上空で凝結するときに大気へ熱を渡すしくみです。潜熱輸送量（ $W/ m^{2}$ ）と水の蒸発熱がわかれば、1 年間に地表 $1 m^{2}$ あたりで蒸発する水の質量が求められます。地球全体では蒸発した水はいずれ雨や雪として戻るので、蒸発量＝降水量とおくと、地球の平均年降水量（mm）を見積もることができます。

なぜそうしてよいのか

$W$ は $J/s$ なので、潜熱輸送量 $F [W/ m^{2}]$ は「地表 $1 m^{2}$ から 1 秒間に潜熱として運ばれるエネルギー $F [J]$ 」という意味です。1 年間の秒数 $t [s]$ を掛ければ、 $1 m^{2}$ あたり 1 年間に運ばれる熱量 $Q = F t [J]$ になります。

この熱は、水を蒸発させるのに使われた熱です。蒸発熱を $L [J/kg]$ とすると、質量 $m$ の水を蒸発させるのに必要な熱量は $Q = m L$ でした。したがって蒸発した水の質量は $m = \frac{Q}{L} = \frac{F t}{L}$ です。

最後に、この水を $1 m^{2}$ の面に雨として降らせたときの深さを考えます。水の密度を $ρ = 1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ とすると、体積は $V = \frac{m}{ρ} [m^{3}]$ 、底面積 $1 m^{2}$ で割った深さは $h = \frac{m}{ρ \times 1 m ^{2}} [m]$ です。たとえば $m = 1 kg$ なら $h = \frac{1}{1000} m = 1 mm$ となるので、「 $1 m^{2}$ あたり $1 kg$ の水は深さ $1 mm$ の降水」と覚えておくと便利です。地球全体で長い期間を平均すると、大気中の水蒸気の量はほぼ一定なので、蒸発した量と同じだけ降水として戻ってきます。そこで蒸発量の深さを、そのまま平均年降水量とみなせます。

手順

潜熱輸送量 $F [W/ m^{2}]$ に 1 年間の秒数 $t [s]$ を掛けて、 $1 m^{2}$ あたり 1 年間の熱量を求める： $Q = F t [J]$
蒸発熱 $L$ の単位を $J/kg$ にそろえ（ $J/g$ なら 1000 倍する）、蒸発した水の質量を求める： $m = \frac{Q}{L} [kg]$
水の密度 $ρ$ で割り、 $1 m^{2}$ に広げたときの水の深さを求める： $h = \frac{m}{ρ \times 1 m ^{2}} [m]$
蒸発量＝降水量とみなし、 $h$ を mm に直して（1000 倍して）平均年降水量とする。指定された桁に丸める

例題

地表から大気へ潜熱として運ばれるエネルギーは、地球全体の平均で地表 $1 m^{2}$ あたり $80 W$ である。水の蒸発熱を $2.5 \times 1 0^{6} J/kg$ 、水の密度を $1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ 、1 年を $3.15 \times 1 0^{7} s$ とする。地球全体で 1 年間に蒸発する水の量と降水量が等しいとして、地球の平均年降水量は何 mm か。小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。

例題の解答

手順 1： $1 m^{2}$ あたり 1 年間に潜熱として運ばれる熱量は
$Q = 80 \times 3.15 \times 1 0^{7} = 2.52 \times 1 0^{9} J$
手順 2：蒸発熱は $2.5 \times 1 0^{6} J/kg$ （すでに $J/kg$ ）なので、蒸発する水の質量は
$m = \frac{2.52 \times 1 0 ^{9}}{2.5 \times 1 0 ^{6}} = 1008 kg$
手順 3：この水を $1 m^{2}$ に広げたときの深さは
$h = \frac{1008}{1.0 \times 1 0 ^{3} \times 1} = 1.008 m$
手順 4：蒸発量＝降水量とみなし、mm に直すと $1.008 \times 1000 = 1008 mm$ 。小数第 1 位を四捨五入しても 1008 mm である。
（ $1 m^{2}$ あたり $1 kg$ が $1 mm$ にあたるので、手順 2 の $1008 kg$ からすぐに $1008 mm$ とも読める。）

答え: $1008$

よくある誤り

$W/ m^{2}$ をそのまま 1 年間の熱量として使い、 $m = \frac{80}{2.5 \times 1 0 ^{6}}$ としてしまう誤り。 $W = J/s$ なので、正しくは 1 年の秒数を掛けて $Q = 80 \times 3.15 \times 1 0^{7} J$ とする。
蒸発熱が $2.5 \times 1 0^{3} J/g$ と与えられたのに $J/kg$ のつもりで割り、質量を 1000 倍に見積もってしまう誤り。正しくは $2.5 \times 1 0^{3} J/g = 2.5 \times 1 0^{6} J/kg$ に直してから $m = \frac{Q}{L}$ を計算する。
求めた深さ $1.008 m$ をそのまま答えにしたり、 $1 kg$ を $1 m$ と取り違えたりする誤り。 $1 m^{2}$ あたり $1 kg$ の水は体積 $1 0^{- 3} m^{3}$ 、深さ $1 0^{- 3} m = 1 mm$ なので、正しくは $1.008 m = 1008 mm$ とする。
潜熱輸送量ではなく、顕熱や地表が吸収する太陽放射の値を使ってしまう誤り。水の蒸発に使われるのは潜熱の分だけなので、正しくは熱収支の中の潜熱輸送量 $F$ だけを $Q = F t$ に入れる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地球全体で平均すると、地表から大気へ水の蒸発によって運ばれる潜熱の量は、地表 $1 m^{2}$ あたり $80 W$ （ $80 W/ m^{2}$ ）であるとする。水の蒸発熱を $2.5 \times 1 0^{6} J/kg$ 、水の密度を $1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ 、1 年を $3.0 \times 1 0^{7} s$ とする。
地球全体で 1 年間に蒸発する水の量と降る雨（降水）の量が等しいとすると、地球全体の平均年降水量は何 mm か。整数で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
地球全体で1年間を平均した熱収支について考える。大気の上端に入射する太陽放射エネルギーを $100$ とし、各エネルギーの流れをこれに対する相対値で表すと、次のことがわかっている。
- 入射した太陽放射のうち、大気・雲・地表による反射で宇宙空間へ戻る量は合わせて $30$ である。
- 大気（雲を含む）が吸収する太陽放射は $20$ であり、残りはすべて地表に吸収される。
- 地表が放射する赤外線（地球放射）は $116$ である。このうち $10$ は大気に吸収されずに宇宙空間へ直接出ていき、残りはすべて大気に吸収される。
- 大気は赤外線を宇宙空間へ向けて放射するとともに、地表へ向けても放射している。地表へ向けて放射する量は、宇宙空間へ向けて放射する量の $1.6$ 倍である。
- 地表から大気へは、放射のほかに顕熱（伝導・対流）と潜熱（水の蒸発）によっても熱が運ばれている。顕熱による輸送量と潜熱による輸送量の比は $1 : 4$ である。
- 地球全体、大気、地表のそれぞれで、出入りするエネルギーはつり合っている。
太陽定数を $1.37 \times 1 0^{3} W/ m^{2}$ とする。地球が受け取る太陽放射は断面積 $π R^{2}$ （ $R$ は地球の半径）で受けたものが表面積 $4 π R^{2}$ 全体に配分されるとし、相対値 $100$ はこの地表面 $1 m^{2}$ あたりの平均の入射量に対応するものとする。また、水の蒸発熱を $2.5 \times 1 0^{6} J/kg$ 、水の密度を $1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ 、1年を $3.15 \times 1 0^{7} s$ とし、潜熱による輸送はすべて地表からの水の蒸発によるものとする。地球全体で1年間に蒸発する水の量と降水量は等しいとして、地球全体で平均した年降水量は何 $mm$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。