交流の発生と実効値

磁束密度 $B$ の一様な磁場の中で、面積 $S$、巻数 $N$ のコイルを、磁場に垂直な軸のまわりに角速度 $\omega$ で回します。時刻 $t=0$ にコイル面が磁場に垂直だったとすると、時刻 $t$ にはコイル面の向きが角 $\omega t$ だけ傾きます。このときコイルを貫く磁束は、コイル面を磁場に垂直な面へ映した面積 $S\cos \omega t$ を使って $\Phi =BS\cos \omega t$ と書けます。ファラデーの法則 $V=-N\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$ を使うには、$\cos \omega t$ の変化の速さが必要です。単位円の上を角速度 $\omega$ で回る点を考えると、この点は半径 1 の円周上を速さ $\omega$ で動き、その $x$ 座標が $\cos \omega t$ です。速度は円の接線方向を向くので、その $x$ 成分は $-\omega \sin \omega t$ になります。つまり $\cos \omega t$ の変化の速さは $-\omega \sin \omega t$ で、$$V=-NBS\times (-\omega \sin \omega t)=NBS\omega \sin \omega t$$ となります。起電力は最大値 $V_0=NBS\omega$ の正弦波です。コイル面が磁場に垂直な瞬間（$\sin \omega t=0$）は、磁束は最大ですが変化の速さが 0 なので起電力は 0 です。面が磁場に平行な瞬間は、磁束は 0 でも変化がいちばん速いので、起電力の大きさは最大になります。

コイルが 1 回転する時間 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ が交流の周期です。1 秒あたりのくり返しの回数が周波数 $f$ で、波の場合と同じく $f=\frac{1}{T}$ です。これより $\omega =2\pi f$ となります。

交流は向きが絶えず変わるので、1 周期で平均すると電圧は 0 になります。そこで、抵抗 $R$ で消費される電力の平均で交流の「強さ」を表します。抵抗に電圧 $V=V_0\sin \omega t$ をかけたときの電力は $P=\frac{V^2}{R}=\frac{V_0^2{\sin }^2\omega t}{R}$ です。${\sin }^2\omega t+{\cos }^2\omega t=1$ であり、1 周期の中で ${\sin }^2$ と ${\cos }^2$ は同じ形のグラフを時間的にずらしただけなので、平均の値は等しくなります。したがって ${\sin }^2\omega t$ の平均はちょうど $\frac{1}{2}$ で、平均電力は $\frac{V_0^2}{2R}=\frac{(V_0/\sqrt{2}{)}^2}{R}$ です。これは、大きさ $\frac{V_0}{\sqrt{2}}$ の直流電圧をかけたときと同じ電力です。この値を電圧の実効値といい、$V_e=\frac{V_0}{\sqrt{2}}$ と表します。抵抗を流れる電流 $I=\frac{V}{R}$ も最大値 $I_0=\frac{V_0}{R}$ の正弦波なので、同様に電流の実効値は $I_e=\frac{I_0}{\sqrt{2}}$ です。このとき抵抗で消費される平均電力は $\frac{V_0^2}{2R}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}\cdot \frac{I_0}{\sqrt{2}}=V_e{I}_e$ と、直流と同じ形で書けます。