コイル・コンデンサーの交流に対するはたらき

コイルでは電流の位相が電圧より $\frac{π}{2}$ 遅れ、コンデンサーでは $\frac{π}{2}$ 進むこと、リアクタンス $ω L$ は周波数とともに大きく、 $\frac{1}{ω C}$ は小さくなること、どちらも平均の消費電力が 0 であることを判定できる

前提

交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流（知識））
自己誘導と相互誘導（高校物理電磁気と交流（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））

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算数中学高校大学大学院

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説明

交流回路にコイルやコンデンサーを入れたとき、電流と電圧の時間的なずれ（位相のずれ）、電流の流れにくさ（リアクタンス）、消費電力を判定できるようになります。電流の位相はコイルでは電圧より $\frac{π}{2}$ 遅れ、コンデンサーでは $\frac{π}{2}$ 進みます。リアクタンスは、コイルでは $ω L$ 、コンデンサーでは $\frac{1}{ω C}$ です（ $ω = 2 π f$ ）。周波数を変えたときに電流がどう変わるかや、電力を消費するかどうかを問う正誤問題で使います。

なぜそうしてよいのか

【コイル】抵抗が無視できるコイルに電流 $I = I_{0} sin ω t$ を流すと、自己誘導により電流の変化を妨げる起電力 $- L \frac{Δ I}{Δ t}$ が生じます。それでも電流を流し続けるには、電源がこれを打ち消す電圧 $V = L \frac{Δ I}{Δ t}$ をかけ続ける必要があります。 $sin$ のグラフの傾き（変化率）は、値が 0 を横切るところで最大になり、山や谷では 0 になります。実際、 $I_{0} sin ω t$ の変化率は $ω I_{0} cos ω t$ です。したがって $V = ω L I_{0} cos ω t = ω L I_{0} sin (ω t + \frac{π}{2})$ となります。電圧のほうが $\frac{π}{2}$ だけ先に山を迎えるので、電流は電圧より $\frac{π}{2}$ 遅れます。最大値の比は $\frac{V _{0}}{I _{0}} = ω L$ で、これをコイルのリアクタンス（単位 $Ω$ ）といいます。周波数が大きいほど電流の変化が速く、変化を妨げる起電力も大きくなるため、電流は流れにくくなります。

【コンデンサー】コンデンサーに電圧 $V = V_{0} sin ω t$ をかけると、極板の電気量は $Q = C V$ です。電流は電気量の時間変化率なので $I = \frac{Δ Q}{Δ t} = C \frac{Δ V}{Δ t} = ω C V_{0} cos ω t = ω C V_{0} sin (ω t + \frac{π}{2})$ となります。今度は電流のほうが先に山を迎えるので、電流は電圧より $\frac{π}{2}$ 進みます。最大値の比は $\frac{V _{0}}{I _{0}} = \frac{1}{ω C}$ で、これがコンデンサーのリアクタンスです。周波数が大きいほど充電と放電を速く繰り返し、1 秒あたりに出入りする電気量が増えるため、電流は流れやすくなります。直流では充電が終わると電流は流れません。実効値はどれも最大値の $\frac{1}{2}$ 倍なので、実効値どうしでも $V_{e} = ω L I_{e}$ 、 $V_{e} = \frac{1}{ω C} I_{e}$ が成り立ちます。

【電力】電圧と電流の位相が $\frac{π}{2}$ ずれていると、1 周期の中で「電圧と電流が同符号の $\frac{1}{4}$ 周期」と「異符号の $\frac{1}{4}$ 周期」が交互に、同じ形で現れます。そのため瞬間の電力 $P = V I$ は正の部分と負の部分が同じだけになり、平均すると 0 です。コイルは磁場のエネルギー $\frac{1}{2} L I^{2}$ として、コンデンサーは極板間の電場のエネルギーとして、エネルギーを一時的に蓄えては電源に返しているだけです。ジュール熱は発生しません。

手順

素子がコイル（抵抗は無視）かコンデンサーかを確認する。
位相を判定する。コイルでは電流が電圧より $\frac{π}{2}$ 遅れ、コンデンサーでは電流が電圧より $\frac{π}{2}$ 進む。
リアクタンスを書く。 $X_{L} = ω L = 2 π f L$ 、 $X_{C} = \frac{1}{ω C} = \frac{1}{2 π f C}$ 。電圧と電流の実効値（または最大値）の間には $V_{e} = X I_{e}$ が成り立つ。
周波数を変えたときの変化を判定する。 $f$ を大きくすると、 $X_{L}$ は大きくなりコイルの電流は減る。 $X_{C}$ は小さくなりコンデンサーの電流は増える。
消費電力を判定する。コイルでもコンデンサーでも、平均の消費電力は 0 である（電力を消費するのは抵抗だけ）。

例題

交流電源に、抵抗の無視できるコイル、またはコンデンサーを 1 つだけつなぐ。これについて述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　コイルを流れる電流の位相は、コイルの両端の電圧の位相より $\frac{π}{2}$ 進んでいる。
イ　電源の電圧の実効値を一定に保ったまま周波数を 2 倍にすると、コンデンサーを流れる電流の実効値は 2 倍になる。
ウ　電源の周波数を大きくすると、コイルのリアクタンスは小さくなる。
エ　コンデンサーで消費される電力の平均は、電圧の実効値と電流の実効値の積に等しい。

例題の解答

手順 1：ア・ウはコイル、イ・エはコンデンサーについての文である。
手順 2（位相）：コイルでは電流が電圧より $\frac{π}{2}$ 遅れる。「進んでいる」とするアは誤り。
手順 3・4（リアクタンスと周波数）：コンデンサーでは $I_{e} = \frac{V _{e}}{X _{C}} = 2 π f C V_{e}$ なので、 $V_{e}$ が一定なら $I_{e}$ は $f$ に比例する。周波数を 2 倍にすると電流の実効値も 2 倍になるので、イは正しい。コイルのリアクタンス $2 π f L$ は $f$ が大きいほど大きくなるので、ウは誤り。
手順 5（電力）：コンデンサーの平均消費電力は 0 である。 $V_{e} I_{e}$ にはならないので、エは誤り。
よって正しいものはイ。

答え:

イ

よくある誤り

コイルの電流が電圧より $\frac{π}{2}$ 進むと、向きを逆に覚えてしまう誤り。正しくは、 $I = I_{0} sin ω t$ のとき $V = ω L I_{0} sin (ω t + \frac{π}{2})$ となり、電圧が進む。つまりコイルでは電流が $\frac{π}{2}$ 遅れ、コンデンサーでは電流が $\frac{π}{2}$ 進む。
コンデンサーのリアクタンスを $ω C$ として、周波数が大きいほど電流が流れにくくなると考えてしまう誤り。正しくは $X_{C} = \frac{1}{ω C}$ で、周波数が大きいほど小さくなり、電流は流れやすくなる（直流 $f = 0$ では電流が流れ続けない）。
コイルやコンデンサーでも平均の消費電力を $V_{e} I_{e}$ と計算してしまう誤り。正しくは、位相が $\frac{π}{2}$ ずれているため $P = V I$ の正の部分と負の部分が打ち消し合い、平均の消費電力は 0 になる。
角周波数 $ω$ と周波数 $f$ を混同して $X_{L} = f L$ としてしまう誤り。正しくは $ω = 2 π f$ なので、 $X_{L} = 2 π f L$ 、 $X_{C} = \frac{1}{2 π f C}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
電気容量 $C$ のコンデンサーだけを、角周波数 $ω$ の正弦波交流電源につなぐ。コンデンサーにかかる電圧を $V = V_{0} sin ω t$ と表すと、回路を流れる電流は $I = I_{0} sin (ω t + \frac{π}{2})$ と表され、電流は電圧より $\frac{1}{4}$ 周期だけ早く最大になる。導線の電気抵抗は無視できるものとする。
このように、正弦波で変化する量について、 $sin$ の中の角 $ω t$ や $ω t + \frac{π}{2}$ のような、振動のどの段階にあるかを表す角を何というか。

この技能を使う問題

	a	b
ア	進む	大きくなる
イ	進む	変わらない
ウ	遅れる	小さくなる
エ	遅れる	大きくなる
オ	進む	小さくなる
カ	遅れる	変わらない

この技能の次に学べること

電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））