熱と気体の問題

かくはん棒のついた容器（熱量計）を使って、次の実験を行った。容器とかくはん棒をあわせた熱容量 $C$ は、はじめはわかっていない。

実験 1: 容器に $20.0{}^{\circ }\mathrm{C}$ の水 $200\mathrm{g}$ を入れ、容器も $20.0{}^{\circ }\mathrm{C}$ にした。水の中に入れた電熱線に、消費電力 $42.0\mathrm{W}$ で $100\mathrm{s}$ 間電流を流したところ、よくかき混ぜた水と容器の温度は $24.8{}^{\circ }\mathrm{C}$ になった。

実験 2: 実験 1 に続けて電熱線で加熱し、水と容器の温度を $30.0{}^{\circ }\mathrm{C}$ にしてから電熱線を取り出した。次に、$-10.0{}^{\circ }\mathrm{C}$ の氷 $100\mathrm{g}$ を水の中に入れ、よくかき混ぜて十分に時間がたつと、全体は熱平衡の状態になった。

水の比熱を $4.2J/(\mathrm{g}\cdot \mathrm{K})$、氷の比熱を $2.1J/(\mathrm{g}\cdot \mathrm{K})$、氷の融解熱を $334J/g$ とする。電熱線で発生した熱はすべて水と容器に与えられ、電熱線の熱容量は無視できる。容器と外部との熱の出入りはなく、水の蒸発も無視できる。

実験 2 で熱平衡になったとき、容器の中に残っている氷の質量は何 g か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある固体の物質 $200\mathrm{g}$ を断熱容器に入れ、一定の電力で発熱するヒーターで加熱した。加熱を始めた時刻を $0\mathrm{s}$ として温度を測定したところ、次のようになった。

• 時刻 $0\mathrm{s}$ から $80\mathrm{s}$ までは、物質は固体のまま温度が $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ から $60{}^{\circ }\mathrm{C}$ まで一定の割合で上昇した。
• 時刻 $80\mathrm{s}$ から $280\mathrm{s}$ までは、温度は $60{}^{\circ }\mathrm{C}$ のまま変わらず、この間に固体がとけて、時刻 $280\mathrm{s}$ にちょうどすべて液体になった。

この物質の固体の比熱を $2.0J/(\mathrm{g}\cdot \mathrm{K})$ とする。ヒーターで発生した熱はすべて物質に与えられ、容器やヒーターの熱容量と、外部との熱の出入りは無視できるものとする。この物質の融解熱は何 J/g か。有効数字 2 桁で求めよ。

容積 $2.0\text{L}$ の容器 $\mathrm{A}$ と容積 $4.0\text{L}$ の容器 $\mathrm{B}$ が、コックのついた細い管でつながれている。はじめコックは閉じており、$\mathrm{A}$ には圧力 $3.0\times 10^5\text{Pa}$、$\mathrm{B}$ には圧力 $1.0\times 10^5\text{Pa}$ の同じ種類の理想気体が入っていて、どちらの温度も $300\text{K}$ であった。

コックを開いて十分に時間がたった後、コックを開いたまま、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ 全体の温度を $400\text{K}$ にした。

このときの容器内の気体の圧力は何 $\text{Pa}$ か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし、管の容積と容器の容積の温度による変化は無視し、気体はもれないものとする。

なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、一定量の単原子分子理想気体が閉じこめられている。この気体を熱機関の作業物質として、次の 3 つの過程からなるサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{A}$ をゆっくりと行わせる。ただし、$p_0$, $V_0$ は正の定数である。

• 状態 $\mathrm{A}$ の圧力は $p_0$、体積は $V_0$ である。
• 過程 $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$: 体積を $V_0$ に保ったまま加熱する（定積変化）。
• 過程 $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$: 外部との熱の出入りがない状態で膨張させる（断熱変化）。状態 $\mathrm{C}$ の圧力は $p_0$、体積は $8V_0$ である。
• 過程 $\mathrm{C}\to \mathrm{A}$: 圧力を $p_0$ に保ったまま圧縮して、状態 $\mathrm{A}$ にもどす（定圧変化）。

単原子分子理想気体が断熱変化をするとき、圧力 $p$ と体積 $V$ の間には $p{V}^{\frac{5}{3}}=\text{一定}$ の関係が成り立つ。また、物質量 $n$ の単原子分子理想気体の内部エネルギーは、気体定数を $R$、絶対温度を $T$ として $\frac{3}{2}nRT$ である。

1 サイクルの間に気体が外部にした正味の仕事を $W$、1 サイクルの間に気体が外部から吸収した熱量の合計を $Q_{\text{in}}$ とするとき、この熱機関の熱効率 $e=\frac{W}{Q_{\text{in}}}$ を求めよ。

熱容量 $42\text{J/K}$ の容器に $20.0{}^{\circ }\text{C}$ の水 $150\text{g}$ を入れ、容器と水の温度が等しくなったところで、$100.0{}^{\circ }\text{C}$ に熱した質量 $200\text{g}$ の金属球を静かに入れた。よくかき混ぜたところ、全体の温度は $30.0{}^{\circ }\text{C}$ で一定になった。

水の比熱を $4.2\text{J/(g}\cdot \text{K)}$ とし、熱は容器・水・金属球のあいだだけでやりとりされ、外部との熱の出入りや水の蒸発はないものとする。

この金属の比熱は何 $\text{J/(g}\cdot \text{K)}$ か。有効数字 2 桁で答えよ。