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熱力学の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理熱力学

温度によらない同じ一定の熱容量 $C$ をもつ 2 つの物体 A, B がある（体積変化は無視できる）。はじめ A の絶対温度は $4 T_{0}$ 、B の絶対温度は $T_{0}$ である（ $C > 0$ , $T_{0} > 0$ ）。A を高温熱源、B を低温熱源として熱機関をはたらかせ、2 つの物体が同じ温度になるまで仕事を取り出す。熱機関はサイクルとして動作し、熱は A, B と熱機関の間でだけやりとりされるものとする。取り出せる仕事の最大値 $W_{m a x}$ を、 $C$ , $T_{0}$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

有限の熱源から取り出す最大仕事（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（102 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「有限の熱源から取り出す最大仕事」を使う。仕事が最大になるのは可逆な場合で、そのとき A と B の全エントロピー変化が $0$ になる。

ヒント 2

最終温度を $T_{f}$ として、 $C lo g \frac{T _{f}}{4 T _{0}} + C lo g \frac{T _{f}}{T _{0}} = 0$ を解く。仕事は A が失った熱と B が受け取った熱の差である。

ヒント 3

$T_{f}^{2} = 4 T_{0}^{2}$ より $T_{f} = 2 T_{0}$ 。A が失う熱は $2 C T_{0}$ である。B が受け取る熱を求めて差をとる。

答えと解説

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C T_{0}

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解説を読む

仕事が最大になるのは、熱機関が可逆にはたらくときである。このとき、熱機関はサイクルなのでそのエントロピーは変わらず、A と B を合わせた全エントロピー変化が $0$ になる。この条件で最終温度 $T_{f}$ を決め、エネルギー保存から仕事を求める。

1. 全エントロピー変化 $= 0$ から最終温度を求める。 熱容量 $C$ の物体の温度が $T_{1}$ から $T_{2}$ に変わるときのエントロピー変化は $C lo g \frac{T _{2}}{T _{1}}$ なので
$Δ S = C lo g \frac{T _{f}}{4 T _{0}} + C lo g \frac{T _{f}}{T _{0}} = C lo g \frac{T _{f}^{2}}{4 T _{0}^{2}} = 0$
よって $T_{f}^{2} = 4 T_{0}^{2}$ 、 $T_{f} > 0$ より $T_{f} = 2 T_{0}$ 。

2. エネルギー保存から仕事を求める。 A が失う熱は $C (4 T_{0} - 2 T_{0}) = 2 C T_{0}$ 、B が受け取る熱は $C (2 T_{0} - T_{0}) = C T_{0}$ 。熱機関はサイクルなので、その差が取り出した仕事になる:
$W_{m a x} = 2 C T_{0} - C T_{0} = C T_{0}$

（参考: 直接接触させた場合の最終温度は $\frac{4 T _{0} + T _{0}}{2} = \frac{5}{2} T_{0}$ で、仕事は取り出せない。可逆にはたらかせると最終温度が $2 T_{0}$ まで下がり、その分のエネルギーが仕事になる。）

別解

仕事が最大になるのは全過程が可逆のときで、このとき A, B, 熱機関を合わせた全エントロピー変化は 0（熱機関はサイクルなのでそのエントロピー変化は 0）。終温を $T_{f}$ とすると
$C lo g \frac{T _{f}}{4 T _{0}} + C lo g \frac{T _{f}}{T _{0}} = 0 \Rightarrow T_{f}^{2} = 4 T_{0}^{2} \Rightarrow T_{f} = 2 T_{0} .$
A が失う熱 $Q_{A} = C (4 T_{0} - 2 T_{0}) = 2 C T_{0}$ 、B が受け取る熱 $Q_{B} = C (2 T_{0} - T_{0}) = C T_{0}$ 。エネルギー保存より
$W_{m a x} = Q_{A} - Q_{B} = 2 C T_{0} - C T_{0} = C T_{0} .$
検算: 全エントロピー変化 $C lo g \frac{2 T _{0}}{4 T _{0}} + C lo g \frac{2 T _{0}}{T _{0}} = - C lo g 2 + C lo g 2 = 0$ 。また $T_{f} = 4 T_{0} \cdot T_{0}$ は幾何平均で、算術平均 $2.5 T_{0}$ より小さいので $W > 0$ で妥当。

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