カルノーの定理と効率・成績係数の上限

可逆機関の効率が最大であることを使い、複数の熱源をつないだ機関の効率、実際の機関の捨てる熱、冷凍機・ヒートポンプの成績係数の上限と必要な最小仕事を求められる

前提

カルノーサイクル（大学物理熱力学）
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））

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算数中学高校大学大学院

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可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））

説明

高温熱源（温度 $T_{H}$ ）と低温熱源（温度 $T_{C}$ ）の間ではたらく熱機関の効率には上限があり、それは可逆機関（たとえばカルノーサイクル）の効率 $1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}$ に等しい、というのがカルノーの定理です。これを使うと、実際の機関が最低でも捨てなければならない熱、冷凍機やヒートポンプの成績係数の上限、ある量の熱をくみ上げるのに必要な最小の仕事などを、作業物質の種類によらず温度だけから求められます。

なぜそうしてよいのか

2 つの熱源の間ではたらく可逆機関 R と、それより効率の高い機関 X があったと仮定します。X が高温熱源から熱 $Q_{H}$ を受け取って仕事 $W_{X}$ をするとし、R は可逆なので逆向きに運転して冷凍機として使えます。R が逆運転で高温熱源に同じ $Q_{H}$ を渡すのに必要な仕事は $W_{R} = η_{R} Q_{H}$ で、仮定より $W_{X} = η_{X} Q_{H} > W_{R}$ です。X の仕事の一部 $W_{R}$ で R を動かすと、高温熱源の出入りは差し引き 0 になり、余った仕事 $W_{X} - W_{R} > 0$ の分だけ低温熱源から熱が取り出されて仕事に変わったことになります。さらにその余りの仕事を摩擦などで高温熱源に熱として渡せば、全体としては「低温熱源から高温熱源へ熱が移っただけで、ほかに何の変化も残らない」ことになり、熱力学第二法則に反します。よって、どんな機関の効率も可逆機関の効率を超えません： $η \leq η_{rev}$ 。

同じ議論を 2 つの可逆機関どうしに両方向から当てはめると、可逆機関の効率はすべて等しく、作業物質によらないことがわかります。したがってその値は、理想気体のカルノーサイクルで計算した $η_{rev} = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}$ に一致します。効率の定義 $η = 1 - \frac{Q _{C}}{Q _{H}}$ （ $Q_{C}$ は捨てる熱）と合わせると、どんな機関でも $\frac{Q _{C}}{Q _{H}} \geq \frac{T _{C}}{T _{H}}$ 、つまり捨てる熱は少なくとも $Q_{H} \frac{T _{C}}{T _{H}}$ 必要です（等号は可逆のとき）。

冷凍機・ヒートポンプは、仕事 $W$ を使って低温側から $Q_{C}$ を取り、高温側へ $Q_{H} = Q_{C} + W$ を渡す装置です。同じ不等式 $\frac{Q _{C}}{Q _{H}} \leq \frac{T _{C}}{T _{H}}$ （今度は逆向きで、可逆のとき等号）から、冷凍機の成績係数 $\frac{Q _{C}}{W} \leq \frac{T _{C}}{T _{H} - T _{C}}$ 、ヒートポンプの成績係数 $\frac{Q _{H}}{W} \leq \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}}$ が得られます。上限を超えると、逆運転した可逆機関と組み合わせて第二法則に反する装置が作れてしまうからです。

手順

熱源の温度を絶対温度 $T_{H}$ , $T_{C}$ （単位 K）で表す。セルシウス温度なら 273 などを足して直す
装置が熱機関か、冷凍機か、ヒートポンプかを判断し、求めたい量（効率・捨てる熱・成績係数・仕事）を決める
可逆の場合に成り立つ関係 $\frac{Q _{C}}{Q _{H}} = \frac{T _{C}}{T _{H}}$ と、エネルギー保存 $Q_{H} = Q_{C} + W$ を書く
上限・下限を求める：熱機関の効率の上限 $1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}$ 、冷凍機の成績係数の上限 $\frac{T _{C}}{T _{H} - T _{C}}$ 、ヒートポンプの成績係数の上限 $\frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}}$
最小仕事や最小の捨てる熱は、可逆（等号）の場合の値として計算する。例：ヒートポンプで $Q_{H}$ を届ける最小仕事は $W_{m i n} = Q_{H} (1 - \frac{T _{C}}{T _{H}})$

例題

外気（温度 $270 K$ ）から熱をくみ上げ、室内（温度 $300 K$ ）に $1500 J$ の熱を届けるヒートポンプがある。外気と室内の温度は一定とみなす。このために必要な仕事の最小値は何 J か。整数で求めよ。

例題の解答

手順 1：温度はすでに絶対温度で、 $T_{H} = 300 K$ （室内）、 $T_{C} = 270 K$ （外気）。

手順 2：装置はヒートポンプで、高温側に届ける熱 $Q_{H} = 1500 J$ が与えられ、必要な仕事 $W$ の最小値を求める。

手順 3：可逆なら $\frac{Q _{C}}{Q _{H}} = \frac{T _{C}}{T _{H}}$ 、エネルギー保存より $W = Q_{H} - Q_{C}$ 。

手順 4：ヒートポンプの成績係数の上限は $\frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} = \frac{300}{30} = 10$ 。成績係数 $\frac{Q _{H}}{W}$ が 10 を超えられないので $W \geq \frac{Q _{H}}{10}$ 。

手順 5：最小仕事は可逆の場合で
$W_{m i n} = Q_{H} (1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}) = 1500 \times \frac{30}{300} = 150 J$
このとき外気から取る熱は $Q_{C} = 1500 - 150 = 1350 J$ である。

答え: $150$

よくある誤り

セルシウス温度のまま計算してしまう誤り。たとえば $2 7^{\circ} C$ と $- 3^{\circ} C$ で $1 - \frac{- 3}{27}$ とするのは誤り。正しくは $T_{H} = 300 K$ , $T_{C} = 270 K$ として $1 - \frac{270}{300} = 0.1$
冷凍機とヒートポンプの成績係数の上限を取り違える誤り。冷凍機（低温側から取る熱が目的）は $\frac{T _{C}}{T _{H} - T _{C}}$ 、ヒートポンプ（高温側へ届ける熱が目的）は $\frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}}$ で、後者は前者より 1 大きい
実際の（不可逆な）機関でも捨てる熱が $Q_{H} \frac{T _{C}}{T _{H}}$ ちょうどになるとしてしまう誤り。これは最小値であり、正しくは $Q_{C} \geq Q_{H} \frac{T _{C}}{T _{H}}$ で、等号は可逆のときだけ
効率の上限 $1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}$ が理想気体のカルノーサイクルだけの性質だと考える誤り。正しくは、2 つの熱源の間の可逆機関なら作業物質によらず同じ効率になり、どんな機関の効率もこれを超えない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
冷凍庫が、内部（絶対温度 $250 K$ に保たれている）から熱を汲み出し、室内（絶対温度 $300 K$ に保たれている）へ熱を捨てる冷凍機としてはたらいている。冷凍庫の内部と室内はどちらも温度が変わらない熱源とみなせるものとする。冷凍機をサイクルとして動かし、冷凍庫の内部から $1000 J$ の熱を汲み出すために外部から冷凍機に加えなければならない仕事の最小値は何 J か。整数で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

可逆過程のエントロピー変化（大学物理熱力学）
有限の熱伝達をもつ熱機関の出力（大学物理熱力学）