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熱力学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理熱力学

温度 $T_{H}$ のボイラー、温度 $T_{1}$ の室内、温度 $T_{0}$ の屋外（ $T_{H} > T_{1} > T_{0} > 0$ ）があり、これらはどれも温度が変わらない熱源とみなせる。次のような装置で室内を暖房する。

可逆なカルノー機関 E が、ボイラーから熱 $Q_{H}$ （ $Q_{H} > 0$ ）を受け取り、仕事 $W$ をして、残りの熱を室内へ捨てる。
E がした仕事 $W$ のすべてを使って、可逆なカルノーサイクルを逆向きに運転するヒートポンプ P を動かす。P は屋外から熱をくみ上げ、室内へ熱を送る。

E と P が室内へ送る熱の合計を $Q_{room}$ とするとき、比 $\frac{Q _{room}}{Q _{H}}$ を $T_{H}$ , $T_{1}$ , $T_{0}$ を用いて求めよ。

この問題で使うもの

カルノーの定理と効率・成績係数の上限（説明と入口の問題）
カルノーサイクル（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（92 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

E と P のそれぞれについて、可逆サイクルの条件 $\frac{Q _{高温}}{T _{高温}} = \frac{Q _{低温}}{T _{低温}}$ とエネルギー保存を使う。E が捨てる熱も室内へ入ることに注意する。

ヒント 2

E が室内へ捨てる熱は $\frac{T _{1}}{T _{H}} Q_{H}$ 、仕事は $W = (1 - \frac{T _{1}}{T _{H}}) Q_{H}$ 。可逆ヒートポンプの暖房の成績係数は $\frac{T _{1}}{T _{1} - T _{0}}$ 。

ヒント 3

P が室内へ送る熱は $\frac{T _{1}}{T _{1} - T _{0}} \cdot \frac{T _{H} - T _{1}}{T _{H}} Q_{H}$ 。これに E が捨てる熱を加えて通分する。

答えと解説

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\frac{T _{1} ( T _{H} - T _{0} )}{T _{H} ( T _{1} - T _{0} )}

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解説を読む

カルノー機関 E

E は温度 $T_{H}$ と $T_{1}$ の間で働く可逆機関である。可逆サイクルでは作業物質のエントロピーが 1 サイクルで変化しないので、ボイラーから受け取る熱 $Q_{H}$ と室内へ捨てる熱 $Q_{1}$ の間に $\frac{Q _{H}}{T _{H}} = \frac{Q _{1}}{T _{1}}$ が成り立つ。よって
$Q_{1} = \frac{T _{1}}{T _{H}} Q_{H}, W = Q_{H} - Q_{1} = (1 - \frac{T _{1}}{T _{H}}) Q_{H}$
（エネルギー保存：熱力学第 1 法則）。

ヒートポンプ P

P は温度 $T_{0}$ と $T_{1}$ の間で働く可逆なヒートポンプで、屋外からくみ上げる熱を $Q_{0}$ 、室内へ送る熱を $Q_{2}$ とすると、同様に $\frac{Q _{0}}{T _{0}} = \frac{Q _{2}}{T _{1}}$ 、 $Q_{2} = Q_{0} + W$ が成り立つ。これより
$Q_{2} - W = \frac{T _{0}}{T _{1}} Q_{2} ⟹ Q_{2} = \frac{T _{1}}{T _{1} - T _{0}} W$
$Q_{2} = \frac{T _{1}}{T _{1} - T _{0}} \cdot \frac{T _{H} - T _{1}}{T _{H}} Q_{H}$

室内へ送る熱の合計
$\frac{Q _{room}}{Q _{H}} = \frac{Q _{1} + Q _{2}}{Q _{H}} = \frac{T _{1}}{T _{H}} + \frac{T _{1} ( T _{H} - T _{1} )}{T _{H} ( T _{1} - T _{0} )} = \frac{T _{1} {( T _{1} - T _{0} ) + ( T _{H} - T _{1} )}}{T _{H} ( T _{1} - T _{0} )} = \frac{T _{1} ( T _{H} - T _{0} )}{T _{H} ( T _{1} - T _{0} )}$

$T_{H} > T_{1}$ より $\frac{T _{1} ( T _{H} - T _{0} )}{T _{H} ( T _{1} - T _{0} )} > 1$ となり（分子 − 分母 $= T_{0} (T_{H} - T_{1}) > 0$ ）、ボイラーの熱で直接暖房するより多くの熱を室内へ送れる。

別解

カルノー機関 E は温度 $T_{H}$ から熱 $Q_{H}$ を受け取り、室内（ $T_{1}$ ）へ熱 $Q_{1} = Q_{H} \frac{T _{1}}{T _{H}}$ を捨てる。したがって仕事は
$W = Q_{H} - Q_{1} = Q_{H} (1 - \frac{T _{1}}{T _{H}}) = Q_{H} \frac{T _{H} - T _{1}}{T _{H}}$
逆カルノーサイクルのヒートポンプ P は、屋外（ $T_{0}$ ）から $Q_{0}$ をくみ上げ、仕事 $W$ を使って室内へ $Q_{2} = Q_{0} + W$ を送る。可逆なので $\frac{Q _{2}}{T _{1}} = \frac{Q _{0}}{T _{0}}$ で、 $W = Q_{2} - Q_{0} = Q_{2} \frac{T _{1} - T _{0}}{T _{1}}$ より
$Q_{2} = W \frac{T _{1}}{T _{1} - T _{0}} = Q_{H} \frac{( T _{H} - T _{1} ) T _{1}}{T _{H} ( T _{1} - T _{0} )}$
室内に送られる熱の合計は
$Q_{room} = Q_{1} + Q_{2} = Q_{H} \frac{T _{1}}{T _{H}} [1 + \frac{T _{H} - T _{1}}{T _{1} - T _{0}}] = Q_{H} \frac{T _{1}}{T _{H}} \cdot \frac{T _{H} - T _{0}}{T _{1} - T _{0}}$
よって
$\frac{Q _{room}}{Q _{H}} = \frac{T _{1} ( T _{H} - T _{0} )}{T _{H} ( T _{1} - T _{0} )}$
検算: $T_{H} = 400$ , $T_{1} = 300$ , $T_{0} = 200$ とすると $Q_{1} = 0.75 Q_{H}$ , $W = 0.25 Q_{H}$ , P の成績係数は $300/100 = 3$ で $Q_{2} = 0.75 Q_{H}$ 、合計 $1.5 Q_{H}$ 。式では $\frac{300 \times 200}{400 \times 100} = 1.5$ で一致する。また $T_{0} \to T_{1}$ なら比は発散し、 $T_{0} = 0$ なら $T_{1} / T_{1} \cdot \dots = 1$ となる点も自然である。

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