熱力学の問題

ある火力発電所では、温度 $800\mathrm{K}$ の高温の蒸気から熱を受け取り、温度 $300\mathrm{K}$ の川の水に熱を捨てて、定常的に $1.00\times 10^9\mathrm{W}$ の仕率（単位時間あたりの仕事）を取り出している。高温の蒸気と川の水はどちらも温度が変わらない熱源とみなす。この発電所の熱効率は、同じ 2 つの熱源の間で働くカルノー機関の効率の $60.0\%$ であるとする。

この発電所が単位時間あたりに川の水へ捨てる熱量を、$10^9\mathrm{W}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。

2 つの物体 A, B があり、どちらも体積は一定に保たれ、熱容量は温度 $T$ に比例して $C(T)=aT$（$a$ は正の定数）で与えられる。はじめ A の温度は $T_0$、B の温度は $2T_0$ である（$T_0>0$）。

A を低温側、B を高温側の熱源として、微小なカルノーサイクル（可逆機関）を繰り返し運転し、A と B の温度が等しくなるまで外部に仕事を取り出す。熱機関の作業物質は各サイクルで元の状態に戻り、A, B と熱機関以外との熱のやりとりはないものとする。

このとき外部に取り出される仕事の総量を $W$ とする。$\frac{W}{a{T}_0^2}$ の値を求めよ。

温度 $273\mathrm{K}$ に保たれた冷凍室の中に、温度 $273\mathrm{K}$ の水 $1.00\mathrm{kg}$ がある。この水をすべて温度 $273\mathrm{K}$ の氷にするために、冷凍室から熱を汲み出して温度 $300\mathrm{K}$ の室内に捨てる冷凍機を動かす。冷凍室と室内はどちらも温度が変わらない熱源とみなせ、冷凍機はこの 2 つの熱源の間でだけ熱をやりとりするものとする。水の凝固熱（単位質量あたり）を $334kJ/kg$ とする。

冷凍機がどのような仕組みであっても、この目的のために冷凍機に外部から加えなければならない仕事には最小値がある。その最小値を $\mathrm{kJ}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。

温度 $T_{\mathrm{H}}$ のボイラー、温度 $T_1$ の室内、温度 $T_0$ の屋外（$T_{\mathrm{H}}>T_1>T_0>0$）があり、これらはどれも温度が変わらない熱源とみなせる。次のような装置で室内を暖房する。

• 可逆なカルノー機関 E が、ボイラーから熱 $Q_{\mathrm{H}}$（$Q_{\mathrm{H}}>0$）を受け取り、仕事 $W$ をして、残りの熱を室内へ捨てる。
• E がした仕事 $W$ のすべてを使って、可逆なカルノーサイクルを逆向きに運転するヒートポンプ P を動かす。P は屋外から熱をくみ上げ、室内へ熱を送る。

E と P が室内へ送る熱の合計を $Q_{\text{room}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\text{room}}}{Q_{\mathrm{H}}}$ を $T_{\mathrm{H}}$, $T_1$, $T_0$ を用いて求めよ。

$n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）を作業物質とするカルノーサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}$ を考える。各過程はすべて準静的であり、
- $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$: 温度 $T_{\mathrm{H}}$ の高温熱源に接して等温膨張し、体積が $V_0$ から $2V_0$ になる
- $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$: 断熱膨張し、体積が $2V_0$ から $16V_0$ になる
- $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$: 低温熱源に接して等温圧縮する
- $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$: 断熱圧縮して状態 A に戻る

である（$n>0$、$V_0>0$、$T_{\mathrm{H}}>0$）。このサイクル 1 回の間に気体が外部にする正味の仕事 $W$ を、$n,R,T_{\mathrm{H}}$ を用いて求めよ。対数は自然対数 $\log$ で表すこと。