熱力学の問題

物質量 $n$ の単原子分子理想気体（比熱比 $\gamma =\frac{5}{3}$）に、次の 4 つの準静的過程からなるカルノーサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}$ を行わせる。

• $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$: 温度 $T$ の高温熱源に接したまま、体積 $V_0$ から $2V_0$ まで等温膨張する
• $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$: 体積 $2V_0$ から $16V_0$ まで断熱膨張する
• $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$: 低温熱源に接したまま等温圧縮する
• $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$: 断熱圧縮してもとの状態 $\mathrm{A}$ にもどる

気体定数を $R$ とする。このサイクル 1 回で気体が外部にする正味の仕事 $W$ を、$n$, $R$, $T$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

$n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）を作業物質として、次の 4 つの準静的過程からなるサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}$ を行う熱機関を考える（$T_0>0$, $V_0>0$）。

• $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$：体積 $V_0$ のまま、温度を $T_0$ から $2T_0$ まで上げる。
• $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$：温度 $2T_0$ のまま、体積を $V_0$ から $e^2{V}_0$ まで膨張させる（$e$ は自然対数の底）。
• $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$：体積 $e^2{V}_0$ のまま、温度を $2T_0$ から $T_0$ まで下げる。
• $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$：温度 $T_0$ のまま、体積を $e^2{V}_0$ から $V_0$ まで圧縮する。

熱の再利用（再生器）は行わず、気体が熱を吸収する過程の熱はすべて外部の熱源から受け取るものとする。この熱機関の効率（1 サイクルで外部にした正味の仕事を、1 サイクルで外部から吸収した熱の総量で割った値）を求めよ。

$n$ mol の 2 原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{5}{2}R$、$R$ は気体定数）が、なめらかに動くピストンのついたシリンダーに入っている。はじめの状態は体積 $V_0$、絶対温度 $T_0$ である（$V_0>0,T_0>0$）。この気体を、圧力 $P$ が体積 $V$ に比例する関係 $P=\alpha V$（$\alpha$ は正の定数）を保ちながら準静的に変化させ、体積を $2V_0$ にした。

この過程で気体が外部から吸収した熱量 $Q$ を、$n,R,T_0$ を用いて表せ。

物質量 $n$ の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）が、温度 $T_0$・体積 $V_0$ の状態から、温度 $2T_0$・体積 $4V_0$ の状態に変化した。この変化による気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を、$n$, $R$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

温度 $800\mathrm{K}$ の高温熱源、温度 $T_M$ の中間熱源、温度 $200\mathrm{K}$ の低温熱源がある（$200\mathrm{K}<T_M<800\mathrm{K}$）。カルノー機関 A は高温熱源から熱を受け取り、仕事をして、残りの熱を中間熱源に捨てる。カルノー機関 B は、A が中間熱源に捨てた熱をすべて中間熱源から受け取り、仕事をして、残りの熱を低温熱源に捨てる。中間熱源の温度は一定に保たれるものとする。

A と B の熱効率が等しくなるときの $T_M$ を、単位を $\mathrm{K}$ として求めよ。