この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

熱力学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理熱力学

$n$ mol の 2 原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_{V} = \frac{5}{2} R$ 、 $R$ は気体定数）が、なめらかに動くピストンのついたシリンダーに入っている。はじめの状態は体積 $V_{0}$ 、絶対温度 $T_{0}$ である（ $V_{0} > 0, T_{0} > 0$ ）。この気体を、圧力 $P$ が体積 $V$ に比例する関係 $P = α V$ （ $α$ は正の定数）を保ちながら準静的に変化させ、体積を $2 V_{0}$ にした。

この過程で気体が外部から吸収した熱量 $Q$ を、 $n, R, T_{0}$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

一般の準静的過程の仕事と熱（説明と入口の問題）
熱力学第一法則（説明と入口の問題）
理想気体の内部エネルギー（説明と入口の問題）
気体の状態方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（81 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

熱力学第 1 法則 $Q = Δ U + W$ を使う。 $Δ U$ と $W$ を別々に求める方針で考える。

ヒント 2

$P = α V$ と $P V = n R T$ から $T = α V^{2} / (n R)$ 。仕事は $W = \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} α V d V$ で、 $α V_{0}^{2} = n R T_{0}$ を使って書き換える。

ヒント 3

終わりの温度は $4 T_{0}$ なので $Δ U = \frac{15}{2} n R T_{0}$ 、仕事は $W = \frac{3}{2} α V_{0}^{2} = \frac{3}{2} n R T_{0}$ となる。

答えと解説

答えを見る

9 n R T_{0}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

過程は準静的なので、各瞬間に気体は熱平衡にあり、状態方程式 $P V = n R T$ が成り立つ。また気体が外部にする仕事は $W = \int P d V$ で計算できる。

温度の変化 $P = α V$ を状態方程式に代入すると
$T = \frac{P V}{n R} = \frac{α V ^{2}}{n R}$
はじめ $T_{0} = \frac{α V _{0}^{2}}{n R}$ より $α V_{0}^{2} = n R T_{0}$ 。体積 $2 V_{0}$ のときの温度は
$T_{1} = \frac{α ( 2 V _{0} ) ^{2}}{n R} = 4 T_{0}$

内部エネルギーの変化 理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まり、 $Δ U = n C_{V} Δ T$ なので
$Δ U = n \cdot \frac{5}{2} R (4 T_{0} - T_{0}) = \frac{15}{2} n R T_{0}$

気体がした仕事
$W = \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} α V d V = \frac{α}{2} (4 V_{0}^{2} - V_{0}^{2}) = \frac{3}{2} α V_{0}^{2} = \frac{3}{2} n R T_{0}$

熱力学第 1 法則 $Q = Δ U + W$ より
$Q = \frac{15}{2} n R T_{0} + \frac{3}{2} n R T_{0} = 9 n R T_{0}$

別解

理想気体の状態方程式 $P V = n R T$ と $P = α V$ より $α V^{2} = n R T$ なので、 $T \propto V^{2}$ である。体積が $V_{0} \to 2 V_{0}$ になると温度は $T_{0} \to 4 T_{0}$ となり、 $Δ T = 3 T_{0}$ 。

内部エネルギーの変化は $Δ U = n C_{V} Δ T = n \cdot \frac{5}{2} R \cdot 3 T_{0} = \frac{15}{2} n R T_{0}$ 。

気体が外部にする仕事は $W = \int P d V = \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} α V d V = \frac{α}{2} (4 V_{0}^{2} - V_{0}^{2}) = \frac{3}{2} α V_{0}^{2}$ 。はじめの状態で $α V_{0}^{2} = n R T_{0}$ なので $W = \frac{3}{2} n R T_{0}$ 。

熱力学第一法則より $Q = Δ U + W = \frac{15}{2} n R T_{0} + \frac{3}{2} n R T_{0} = 9 n R T_{0}$ 。

検算：この過程のモル比熱は $C = C_{V} + R \cdot \frac{d V}{V} / \frac{d T}{T} \cdot \frac{P}{...}$ の形で、 $d W = P d V = \frac{n R T}{V} d V$ で $T \propto V^{2}$ より $d V / V = d T / (2 T)$ なので $d W = \frac{n R}{2} d T$ 。よって $C = \frac{5}{2} R + \frac{1}{2} R = 3 R$ となり、 $Q = n \cdot 3 R \cdot 3 T_{0} = 9 n R T_{0}$ で一致する。

熱力学の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題