熱力学の問題

$n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）を作業物質として、次の 4 つの準静的過程からなるサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}$ を行う熱機関を考える（$T_0>0$, $V_0>0$）。

• $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$：体積 $V_0$ のまま、温度を $T_0$ から $2T_0$ まで上げる。
• $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$：温度 $2T_0$ のまま、体積を $V_0$ から $e^2{V}_0$ まで膨張させる（$e$ は自然対数の底）。
• $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$：体積 $e^2{V}_0$ のまま、温度を $2T_0$ から $T_0$ まで下げる。
• $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$：温度 $T_0$ のまま、体積を $e^2{V}_0$ から $V_0$ まで圧縮する。

熱の再利用（再生器）は行わず、気体が熱を吸収する過程の熱はすべて外部の熱源から受け取るものとする。この熱機関の効率（1 サイクルで外部にした正味の仕事を、1 サイクルで外部から吸収した熱の総量で割った値）を求めよ。

$n$ mol の 2 原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{5}{2}R$、$R$ は気体定数）が、なめらかに動くピストンのついたシリンダーに入っている。はじめの状態は体積 $V_0$、絶対温度 $T_0$ である（$V_0>0,T_0>0$）。この気体を、圧力 $P$ が体積 $V$ に比例する関係 $P=\alpha V$（$\alpha$ は正の定数）を保ちながら準静的に変化させ、体積を $2V_0$ にした。

この過程で気体が外部から吸収した熱量 $Q$ を、$n,R,T_0$ を用いて表せ。

ある純物質の液相と気相が共存する温度範囲を考える。この範囲で、気相は理想気体とみなせ、その定圧モル比熱は $C_P=4R$（$R$ は気体定数）で温度によらない。また、1 mol あたりの蒸発熱（気化熱）は $L$（$L>0$、温度によらない定数）であり、液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視できるものとする。

この物質の気相（液相は含まない）1 mol を、つねにその温度での飽和蒸気（圧力がその温度の飽和蒸気圧に等しい状態）のまま、温度 $T_1$ から温度 $T_2$（$0<T_1<T_2$）まで準静的に変化させる。途中で凝縮は起こらないものとする。

この過程で気体が外部から吸収する熱 $Q$ を、$R$, $L$, $T_1$, $T_2$ を用いて求めよ（気体が熱を放出する場合は $Q<0$ とする）。

断熱材でできた体積が変わらない容器が、仕切りで体積 $V$ の 2 つの部屋に分けられている。一方の部屋にはヘリウム $n$ mol が温度 $T_0$ で、もう一方の部屋にはアルゴン $n$ mol が温度 $3T_0$ で入っている（$n>0$, $T_0>0$）。ヘリウムとアルゴンはどちらも単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）とみなし、互いに化学反応しない。

仕切りを取り除くと、2 つの気体は混ざり合い、やがて全体が熱平衡に達した。この過程での、気体全体のエントロピーの変化を、$n$ と $R$ を用いて求めよ。容器と仕切りの熱容量は無視する。

ある純物質の液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、考える温度範囲で
$$\log \frac{P}{P_{\ast }}=-\frac{B}{T}-k\log \frac{T}{T_{\ast }}$$
で表されるとする。ここで $P$ は飽和蒸気圧、$T$ は絶対温度、$P_{\ast },T_{\ast },B,k$ は正の定数である。次の近似を用いる。
- 気相は理想気体とみなし、その定圧モル比熱は $C_P^{\mathrm{g}}=4R$（$R$ は気体定数）で温度・圧力によらない
- 液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視できる

蒸気圧曲線に沿って（つねに飽和状態を保ちながら）気相 1 mol の温度を準静的に変えるとき、気相が吸収する熱を $\delta Q$ として、飽和蒸気のモル比熱を $C_{\sigma }=\frac{\delta Q}{dT}$ と定義する。$C_{\sigma }=0$ となる温度 $T$ を、$B$ と $k$ を用いて求めよ。ただし、その温度は上の式が成り立つ範囲にあるものとする。