熱力学の問題

断熱材でできた剛体の容器が、仕切り板で体積 $V_0$ の部屋 A と体積 $2V_0$ の部屋 B に分けられている（$V_0>0$）。部屋 A には温度 $T_0$ のヘリウム $n$ mol が、部屋 B には温度 $3T_0$ のアルゴン $n$ mol が入っている（$T_0>0$）。どちらの気体も単原子分子理想気体とみなし、定積モル比熱は $C_V=\frac{3}{2}R$（$R$ は気体定数）とする。

仕切り板を静かに取り除くと、2 種類の気体は混ざり合い、やがて容器全体で一様な熱平衡状態に達した。2 種類の気体は化学反応せず、混合後も互いに独立な理想気体としてふるまう（理想混合気体）とする。仕切り板の熱容量と体積、および容器の熱容量は無視する。

この変化の間の、気体全体のエントロピー変化 $\Delta S$ を $n$, $R$ を用いて表せ。

1 mol の気体がファンデルワールスの状態方程式
$$\left(P+\frac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT$$
に従う。ここで $P$ は圧力、$V$ はモル体積、$T$ は絶対温度、$R$ は気体定数、$a$, $b$ は正の定数である。この気体の定積モル比熱 $C_V$ は、考える温度・体積の範囲で一定の正の定数とする。

断熱材でできた容器が仕切りで 2 つの部屋に分けられており、一方の部屋（体積 $V_0$、$V_0>b$）にこの気体 1 mol が入っていて、もう一方の部屋（体積 $V_0$）は真空である。仕切りを取り除くと、気体は容器全体（体積 $2V_0$）に広がり、やがて熱平衡に達した（自由膨張）。

はじめの温度を $T_{\mathrm{i}}$、熱平衡に達したあとの温度を $T_{\mathrm{f}}$ とするとき、$T_{\mathrm{f}}-T_{\mathrm{i}}$ を $a$, $C_V$, $V_0$ を用いて求めよ。容器の熱容量は無視する。

断熱材でできたシリンダーに、なめらかに動くピストンで $n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）が閉じ込められている。はじめ、気体は圧力 $P_0$、温度 $T_0$ の平衡状態にあり、ピストンの外側からも圧力 $P_0$ がかかっている。

ある時刻に、ピストンの外側からかかる圧力を急に $2P_0$ に上げ、その後は $2P_0$ のまま一定に保った。気体は圧縮され、やがて圧力 $2P_0$ の新しい平衡状態に達した。この間の気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を $n$, $R$ を用いて求めよ。

ただし、シリンダーとピストンの熱容量と、ピストンの質量は無視でき、気体と外部との熱のやりとりはないものとする。$C_V$ は温度によらないとする。

低温の結晶性固体の熱容量は、考える温度範囲で $$C(T)=a{T}^3$$ と表されるとする（デバイの $T^3$ 則）。ここで $T$ は絶対温度、$a$ は正の定数である。固体の体積変化は無視する。

はじめ温度 $T_0$（$T_0>0$）の熱平衡状態にあるこの固体を、温度 $2T_0$ に保たれた熱源（熱容量が十分大きく、温度が変わらないとみなせる）に接触させた。固体と熱源の間だけで熱がやりとりされ、やがて固体は温度 $2T_0$ の熱平衡状態に達した。$T_0$ から $2T_0$ までの温度範囲で、上の熱容量の式が成り立つものとする。

この過程での、固体と熱源を合わせた系全体のエントロピー変化を、$a$, $T_0$ を用いて表せ。

$n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）を、圧力 $3P_0$・体積 $V_0$ の状態 $\mathrm{A}$ から、圧力 $P_0$・体積 $3V_0$ の状態 $\mathrm{B}$ まで、$P$-$V$ 図上で $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を結ぶ線分にそって準静的に変化させた（$P_0>0$, $V_0>0$）。

この過程の途中で、気体は外部から熱を吸収する部分と、外部へ熱を放出する部分がある。$\mathrm{A}\to \mathrm{B}$ の過程全体で、気体が外部から吸収した熱の総量（放出した熱を差し引かない量）を、$P_0$, $V_0$ を用いて求めよ。