この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

熱力学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理熱力学

1 mol の気体がファンデルワールスの状態方程式
$(P + \frac{a}{V ^{2}}) (V - b) = R T$
に従う。ここで $P$ は圧力、 $V$ はモル体積、 $T$ は絶対温度、 $R$ は気体定数、 $a$ , $b$ は正の定数である。この気体の定積モル比熱 $C_{V}$ は、考える温度・体積の範囲で一定の正の定数とする。

断熱材でできた容器が仕切りで 2 つの部屋に分けられており、一方の部屋（体積 $V_{0}$ 、 $V_{0} > b$ ）にこの気体 1 mol が入っていて、もう一方の部屋（体積 $V_{0}$ ）は真空である。仕切りを取り除くと、気体は容器全体（体積 $2 V_{0}$ ）に広がり、やがて熱平衡に達した（自由膨張）。

はじめの温度を $T_{i}$ 、熱平衡に達したあとの温度を $T_{f}$ とするとき、 $T_{f} - T_{i}$ を $a$ , $C_{V}$ , $V_{0}$ を用いて求めよ。容器の熱容量は無視する。

この問題で使うもの

状態方程式から求める熱力学的な量（説明と入口の問題）
マクスウェルの関係式（説明と入口の問題）
不可逆過程と全エントロピー変化（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（106 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

断熱容器の中の自由膨張では、熱も仕事もやりとりしないので、内部エネルギーが変わりません。

ヒント 2

$(\frac{\partial U}{\partial V})_{T} = T (\frac{\partial P}{\partial T})_{V} - P$ を、 $d U = T d S - P d V$ とマクスウェルの関係式 $(\frac{\partial S}{\partial V})_{T} = (\frac{\partial P}{\partial T})_{V}$ から導きましょう。

ヒント 3

ファンデルワールス気体では $(\frac{\partial U}{\partial V})_{T} = \frac{a}{V ^{2}}$ となり、 $U = C_{V} T - \frac{a}{V} + const.$ です。

答えと解説

答えを見る

- \frac{a}{2 C _{V} V _{0}}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

自由膨張では内部エネルギーが一定 容器は断熱なので熱の出入りはなく（ $Q = 0$ ）、気体は真空に向かって広がるので外部に仕事をしない（ $W = 0$ ）。熱力学第一法則より $Δ U = 0$ である。

$U$ の体積依存性（マクスウェルの関係式） 熱力学の基本関係式 $d U = T d S - P d V$ より
$(\frac{\partial U}{\partial V})_{T} = T (\frac{\partial S}{\partial V})_{T} - P .$
ヘルムホルツの自由エネルギー $F = U - T S$ について $d F = - S d T - P d V$ なので、マクスウェルの関係式
$(\frac{\partial S}{\partial V})_{T} = (\frac{\partial P}{\partial T})_{V}$
が成り立つ。よって
$(\frac{\partial U}{\partial V})_{T} = T (\frac{\partial P}{\partial T})_{V} - P .$

ファンデルワールスの状態方程式より $P = \frac{R T}{V - b} - \frac{a}{V ^{2}}$ なので
$(\frac{\partial P}{\partial T})_{V} = \frac{R}{V - b}, (\frac{\partial U}{\partial V})_{T} = \frac{R T}{V - b} - (\frac{R T}{V - b} - \frac{a}{V ^{2}}) = \frac{a}{V ^{2}} .$

内部エネルギーの式 $(\frac{\partial U}{\partial T})_{V} = C_{V}$ （一定）と合わせて
$d U = C_{V} d T + \frac{a}{V ^{2}} d V ⟹ U = C_{V} T - \frac{a}{V} + const.$
（ $\frac{\partial}{\partial V} C_{V} = 0$ と $\frac{\partial}{\partial T} \frac{a}{V ^{2}} = 0$ なので、この $d U$ は全微分になっている。）

温度変化 $U$ は状態量なので、はじめと終わりの状態だけで $Δ U$ が決まる。 $Δ U = 0$ より
$C_{V} T_{f} - \frac{a}{2 V _{0}} = C_{V} T_{i} - \frac{a}{V _{0}}$
$T_{f} - T_{i} = \frac{1}{C _{V}} (\frac{a}{2 V _{0}} - \frac{a}{V _{0}}) = - \frac{a}{2 C _{V} V _{0}} .$
（分子間の引力のため、自由膨張で温度は下がる。）

別解

ファンデルワールス気体の内部エネルギーは $(\frac{\partial U}{\partial V})_{T} = T (\frac{\partial P}{\partial T})_{V} - P = \frac{R T}{V - b} - P = \frac{a}{V ^{2}}$ 。 $C_{V}$ 一定なので $U = C_{V} T - \frac{a}{V} + const$ 。\n断熱・仕事なしの自由膨張なので $U$ は変化しない:\n $C_{V} T_{i} - \frac{a}{V _{0}} = C_{V} T_{f} - \frac{a}{2 V _{0}} .$ \n $T_{f} - T_{i} = \frac{1}{C _{V}} (\frac{a}{2 V _{0}} - \frac{a}{V _{0}}) = - \frac{a}{2 C _{V} V _{0}} .$ \n検算: $a > 0$ で温度は下がる（分子間引力に逆らって仕事をする）。 $a = 0$ （理想気体）では 0 ✓。

熱力学の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題