熱力学の問題

温度によらない一定の熱容量 $C$ をもつ物体（体積変化は無視できる）が、はじめ絶対温度 $T_0$ にある。この物体を、絶対温度 $2T_0$ に保たれた十分大きな熱源に接触させたところ、物体の温度は $2T_0$ になって熱平衡に達した。熱は物体と熱源の間でだけやりとりされ、物体は仕事をしないものとする。この過程での、物体と熱源を合わせた全エントロピー変化 $\Delta S_{\mathrm{total}}$ を $C$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

熱容量 $C$（$C>0$、温度によらない定数）の金属球が、温度 $2T_0$ に熱せられている（$T_0>0$）。この金属球を、温度 $T_0$ に保たれた大きな水槽（熱源とみなせる）の中に入れ、熱平衡に達するまで放置した。

この間の、金属球と水槽を合わせた全体のエントロピー変化 $\Delta S_{\text{total}}$ を $C$ を用いて求めよ。ただし、金属球の体積変化は無視でき、金属球と水槽の間以外の熱のやりとりはないものとする。

断熱材でできたシリンダーに、なめらかに動くピストンで $n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）が閉じ込められている。はじめ、気体は圧力 $P_0$、温度 $T_0$ の平衡状態にあり、ピストンの外側からも圧力 $P_0$ がかかっている。

ある時刻に、ピストンの外側からかかる圧力を急に $2P_0$ に上げ、その後は $2P_0$ のまま一定に保った。気体は圧縮され、やがて圧力 $2P_0$ の新しい平衡状態に達した。この間の気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を $n$, $R$ を用いて求めよ。

ただし、シリンダーとピストンの熱容量と、ピストンの質量は無視でき、気体と外部との熱のやりとりはないものとする。$C_V$ は温度によらないとする。

1 mol の気体がファンデルワールスの状態方程式
$$\left(P+\frac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT$$
に従う。ここで $P$ は圧力、$V$ はモル体積、$T$ は絶対温度、$R$ は気体定数、$a$, $b$ は正の定数である。この気体の定積モル比熱 $C_V$ は、考える温度・体積の範囲で一定の正の定数とする。

断熱材でできた容器が仕切りで 2 つの部屋に分けられており、一方の部屋（体積 $V_0$、$V_0>b$）にこの気体 1 mol が入っていて、もう一方の部屋（体積 $V_0$）は真空である。仕切りを取り除くと、気体は容器全体（体積 $2V_0$）に広がり、やがて熱平衡に達した（自由膨張）。

はじめの温度を $T_{\mathrm{i}}$、熱平衡に達したあとの温度を $T_{\mathrm{f}}$ とするとき、$T_{\mathrm{f}}-T_{\mathrm{i}}$ を $a$, $C_V$, $V_0$ を用いて求めよ。容器の熱容量は無視する。

断熱材でできた体積が変わらない容器が、仕切りで体積 $V$ の 2 つの部屋に分けられている。一方の部屋にはヘリウム $n$ mol が温度 $T_0$ で、もう一方の部屋にはアルゴン $n$ mol が温度 $3T_0$ で入っている（$n>0$, $T_0>0$）。ヘリウムとアルゴンはどちらも単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）とみなし、互いに化学反応しない。

仕切りを取り除くと、2 つの気体は混ざり合い、やがて全体が熱平衡に達した。この過程での、気体全体のエントロピーの変化を、$n$ と $R$ を用いて求めよ。容器と仕切りの熱容量は無視する。