直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり

$p$ - $V$ 図で線分に沿う過程について、途中の体積 $V$ までに吸収した熱量を $V$ の 2 次関数で表し、吸収から放出に切りかわる点と、吸収している部分の熱量を求められる

前提

熱力学第一法則（高校物理熱と気体）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）

説明

$p$ - $V$ 図で状態が直線に沿って変わる過程では、途中で気体が熱を「吸収」から「放出」に切りかえることがあります。この技能では、出発点から途中の体積 $V$ までに吸収した熱量 $Q (V)$ を $V$ の 2 次関数で表します。そのグラフの頂点から、切りかわる体積と、吸収している間に受け取った熱量を求めます。熱機関のサイクルで、高温側から受け取る熱量（効率の分母）を求めるときによく使います。

なぜそうしてよいのか

出発点を状態 1（体積 $V_{1}$ 、圧力 $p_{1}$ ）とし、そこから体積 $V$ の状態（圧力 $p$ ）まで進む間に気体が吸収した熱量を $Q (V)$ とします。熱力学第一法則 $Δ U = Q - W$ から $Q (V) = Δ U (V) + W (V)$ です。単原子分子理想気体では、状態方程式 $p V = n R T$ より $U = \frac{3}{2} n R T = \frac{3}{2} p V$ なので、 $Δ U (V) = \frac{3}{2} (p V - p_{1} V_{1})$ となります。仕事 $W (V)$ は、 $p$ - $V$ 図の線分の下の台形の面積 $\frac{( p _{1} + p ) ( V - V _{1} )}{2}$ です。線分上では $p = aV + b$ と 1 次式で書けるので、 $p V$ も台形の面積も $V$ の 2 次式になります。したがって $Q (V)$ は $V$ の 2 次関数です。

体積が $V$ から少し増えて $V + Δ V$ になる間に吸収する熱量は、 $Q (V + Δ V) - Q (V)$ です。これが正なら、その区間で気体は熱を吸収しています。負なら放出しています。つまり $Q (V)$ が増えている区間が「吸収中」、減っている区間が「放出中」です。 $p$ - $V$ 図で右下がりの線分を右へ進む場合、 $Q (V)$ は上に凸の放物線になることが多いです。そのときは頂点までは増加、頂点を過ぎると減少します。よって頂点の体積が吸収から放出への切りかわり点です。 $Q (V_{1}) = 0$ なので、吸収した熱量の合計は頂点での値 $Q$ そのものになります。

手順

線分の両端の値から、圧力を体積の 1 次式で表す： $p = aV + b$
内部エネルギーの変化を $V$ で表す（単原子分子理想気体）： $Δ U (V) = \frac{3}{2} (p V - p_{1} V_{1})$ に $p = aV + b$ を代入する
気体がした仕事を台形の面積で表す： $W (V) = \frac{( p _{1} + p ) ( V - V _{1} )}{2}$
第一法則から $Q (V) = Δ U (V) + W (V)$ を $V$ の 2 次式に整理する。 $Q (V_{1}) = 0$ になることで計算を確かめる
平方完成して頂点の体積 $V^{*}$ を求める。 $V^{*}$ が過程の範囲内なら、そこで吸収から放出に切りかわる。吸収した熱量は $Q (V^{*})$ である（ $V^{*}$ が範囲外なら、過程全体で吸収だけ、または放出だけになる）

例題

物質量一定の単原子分子理想気体を、 $p$ - $V$ 図上の線分に沿って状態 A から状態 B までゆっくり変化させる。A は体積 $V_{0}$ ・圧力 $3 p_{0}$ 、B は体積 $3 V_{0}$ ・圧力 $p_{0}$ である。単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} p V$ で表される。A から B までの過程のうち、気体が熱を吸収している部分で吸収した熱量の合計を、 $p_{0}$ , $V_{0}$ を用いて求めよ（放出した熱量は差し引かない）。

例題の解答

計算を簡単にするため $x = \frac{V}{V _{0}}$ とおく（ $1 \leq x \leq 3$ ）。

手順 1：線分は $(x, p) = (1, 3 p_{0})$ と $(3, p_{0})$ を通る。傾きは $- p_{0}$ なので、 $p = p_{0} (4 - x)$ 。

手順 2： $p V = p_{0} V_{0} x (4 - x)$ 、 $p_{1} V_{1} = 3 p_{0} V_{0}$ より、 $Δ U = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} (- x^{2} + 4 x - 3)$ 。

手順 3： $W = \frac{{ 3 p _{0} + p _{0} ( 4 - x )} ( x - 1 ) V _{0}}{2} = \frac{1}{2} p_{0} V_{0} (- x^{2} + 8 x - 7)$ 。

手順 4： $Q = Δ U + W = p_{0} V_{0} (- 2 x^{2} + 10 x - 8) = - 2 p_{0} V_{0} (x - 1) (x - 4)$ 。 $x = 1$ で $Q = 0$ となり、計算が合っていることを確かめられる。

手順 5：平方完成すると $Q = p_{0} V_{0} {- 2 (x - \frac{5}{2})^{2} + \frac{9}{2}}$ 。頂点 $x = \frac{5}{2}$ は範囲 $1 \leq x \leq 3$ の中にある。よって $V = \frac{5}{2} V_{0}$ までは吸収、その先 B までは放出に切りかわる。吸収した熱量は頂点での値 $\frac{9}{2} p_{0} V_{0}$ である。

参考：B（ $x = 3$ ）での $Q$ は $4 p_{0} V_{0}$ である。後半で $\frac{9}{2} p_{0} V_{0} - 4 p_{0} V_{0} = \frac{1}{2} p_{0} V_{0}$ を放出したことになる。

答え: $\frac{9}{2} p_{0} V_{0}$

よくある誤り

温度が最高になる点（ $p V$ が最大の点）を切りかわり点としてしまう誤り。例題では $p V = p_{0} V_{0} x (4 - x)$ が最大になるのは $x = 2$ だが、そこでもまだ仕事をしながら熱を吸収している。正しくは $Q (V)$ が最大になる点、つまり $x = \frac{5}{2}$ が切りかわり点である。
過程全体の正味の熱量 $Q (V_{2})$ を「吸収した熱量」としてしまう誤り。例題では $Q (3 V_{0}) = 4 p_{0} V_{0}$ だが、これは後半の放出分 $\frac{1}{2} p_{0} V_{0}$ を差し引いた値である。正しくは、吸収した熱量は頂点での値 $\frac{9}{2} p_{0} V_{0}$ である。
仕事を $W = p (V - V_{1})$ や $W = p_{1} (V - V_{1})$ のように、一つの圧力と体積変化の積で計算してしまう誤り。圧力は途中で変わるので、正しくは線分の下の台形の面積 $W = \frac{( p _{1} + p ) ( V - V _{1} )}{2}$ を使う。
内部エネルギーの変化を $\frac{3}{2} (p - p_{1}) (V - V_{1})$ としてしまう誤り。正しくは積 $p V$ の差を使い、 $Δ U = \frac{3}{2} (p V - p_{1} V_{1})$ とする。また、頂点が過程の範囲 $V_{1} \leq V \leq V_{2}$ の外にあるときは切りかわりが起こらない。その確認を忘れないこと。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

一般の準静的過程の仕事と熱（大学物理熱力学）