熱と気体の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理熱と気体

物質量が一定の単原子分子理想気体があります。この気体の状態を、圧力 $3 p_{0}$ ・体積 $V_{0}$ の状態 $A$ から、圧力 $p_{0}$ ・体積 $3 V_{0}$ の状態 $B$ まで、 $p$ - $V$ 図で $A$ と $B$ を結ぶ線分に沿ってゆっくり変化させます。ここで $p_{0} > 0$ , $V_{0} > 0$ は定数です。

この過程の途中で、気体は熱を吸収する状態から熱を放出する状態に切りかわります。 $A$ から切りかわる点までのあいだに気体が吸収した熱量を、 $p_{0}$ , $V_{0}$ を用いて表してください。ただし、単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} p V$ で表されるものとします。

V

p

O

V_{0}

3 V_{0}

p_{0}

3 p_{0}

この問題で使うもの

直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

熱力学第一法則 $Q = Δ U + W$ を使い、A から途中の体積 $V$ までに吸収した熱量を $V$ の 2 次関数で表します。その関数が最大になる点が、吸収から放出に切りかわる点です。

ヒント 2

線分上では $p = 4 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} V$ です。 $Δ U = \frac{3}{2} (p V - 3 p_{0} V_{0})$ 、 $W$ は上底 $3 p_{0}$ ・下底 $p$ ・高さ $V - V_{0}$ の台形の面積として求めます。

ヒント 3

$Q (V) = - \frac{2 p _{0}}{V _{0}} (V^{2} - 5 V_{0} V + 4 V_{0}^{2})$ となります。これを平方完成して頂点を求めましょう。

答えと解説

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\frac{9}{2} p_{0} V_{0}

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解説を読む

方針　途中の体積 $V$ （ $V_{0} \leq V \leq 3 V_{0}$ ）までに吸収した熱量 $Q (V)$ を、熱力学第一法則 $Q = Δ U + W$ で $V$ の式に表します。 $Q (V)$ が増えている間は熱を吸収し、減り始めたら熱を放出しています。したがって、 $Q (V)$ が最大になる点が切りかわる点で、その最大値が求める熱量です。

1. 線分上の圧力を $V$ で表す

線分は $(V_{0}, 3 p_{0})$ と $(3 V_{0}, p_{0})$ を通ります。傾きは $\frac{p _{0} - 3 p _{0}}{3 V _{0} - V _{0}} = - \frac{p _{0}}{V _{0}}$ なので
$p = 3 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} (V - V_{0}) = 4 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} V$

2. 内部エネルギーの変化 $Δ U$

$p V = 4 p_{0} V - \frac{p _{0}}{V _{0}} V^{2}$
状態 $A$ では $p V = 3 p_{0} V_{0}$ なので
$Δ U = \frac{3}{2} (4 p_{0} V - \frac{p _{0}}{V _{0}} V^{2} - 3 p_{0} V_{0}) = \frac{p _{0}}{V _{0}} \cdot \frac{3}{2} (- V^{2} + 4 V_{0} V - 3 V_{0}^{2})$

3. 気体がした仕事 $W$

$W$ は $p$ - $V$ 図で線分と $V$ 軸で囲まれた台形の面積です。上底 $3 p_{0}$ 、下底 $p = 4 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} V$ 、高さ $V - V_{0}$ なので
$W = \frac{1}{2} (7 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} V) (V - V_{0}) = \frac{p _{0}}{V _{0}} \cdot \frac{1}{2} (7 V_{0} - V) (V - V_{0}) = \frac{p _{0}}{V _{0}} \cdot \frac{1}{2} (- V^{2} + 8 V_{0} V - 7 V_{0}^{2})$

4. 吸収した熱量 $Q (V)$

熱力学第一法則 $Δ U = Q - W$ より $Q = Δ U + W$ です。
$Q (V) = \frac{p _{0}}{V _{0}} [(- \frac{3}{2} V^{2} + 6 V_{0} V - \frac{9}{2} V_{0}^{2}) + (- \frac{1}{2} V^{2} + 4 V_{0} V - \frac{7}{2} V_{0}^{2})]$
$= \frac{p _{0}}{V _{0}} (- 2 V^{2} + 10 V_{0} V - 8 V_{0}^{2}) = - \frac{2 p _{0}}{V _{0}} (V^{2} - 5 V_{0} V + 4 V_{0}^{2})$

5. 平方完成して切りかわる点を求める

$V^{2} - 5 V_{0} V + 4 V_{0}^{2} = (V - \frac{5}{2} V_{0})^{2} - \frac{25}{4} V_{0}^{2} + 4 V_{0}^{2} = (V - \frac{5}{2} V_{0})^{2} - \frac{9}{4} V_{0}^{2}$
よって
$Q (V) = - \frac{2 p _{0}}{V _{0}} (V - \frac{5}{2} V_{0})^{2} + \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$
$Q (V)$ は上に凸の 2 次関数で、軸は $V = \frac{5}{2} V_{0}$ です。この値は $V_{0} \leq V \leq 3 V_{0}$ の中にあります。 $V_{0} \leq V < \frac{5}{2} V_{0}$ では $Q (V)$ が増えるので熱を吸収し、 $\frac{5}{2} V_{0} < V \leq 3 V_{0}$ では $Q (V)$ が減るので熱を放出します。

6. 吸収した熱量

切りかわる点 $V = \frac{5}{2} V_{0}$ までに吸収した熱量は、 $Q (V)$ の最大値で
$Q (\frac{5}{2} V_{0}) = \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$

（確認： $V = 3 V_{0}$ では $Q = - \frac{2 p _{0}}{V _{0}} (9 - 15 + 4) V_{0}^{2} = 4 p_{0} V_{0}$ です。A と B では $p V = 3 p_{0} V_{0}$ が等しいので $Δ U = 0$ で、台形の面積は $W = \frac{( 3 p _{0} + p _{0} ) \cdot 2 V _{0}}{2} = 4 p_{0} V_{0}$ となり、一致します。）

別解

線分上の圧力は、 $x = V / V_{0}$ として $p = p_{0} (4 - x)$ （ $1 \leq x \leq 3$ ）と表せる。

微小変化で気体が吸収する熱量は、熱力学第1法則より $d Q = d U + p d V$ である。

$U = \frac{3}{2} p V = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} (4 x - x^{2})$ なので、 $d U = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} (4 - 2 x) d x$ 。

また $p d V = p_{0} V_{0} (4 - x) d x$ 。

よって $d Q = p_{0} V_{0} [(6 - 3 x) + (4 - x)] d x = p_{0} V_{0} (10 - 4 x) d x$ 。

$d Q > 0$ なら吸熱、 $d Q < 0$ なら放熱である。 $d Q = 0$ となるのは $x = 5/2$ で、 $x < 5/2$ で吸熱、 $x > 5/2$ で放熱となる。したがって切りかわる点は $V = \frac{5}{2} V_{0}$ 、 $p = \frac{3}{2} p_{0}$ である。

$A$ （ $x = 1$ ）からこの点までの吸収熱量は
$Q = p_{0} V_{0} \int_{1}^{5/2} (10 - 4 x) d x = p_{0} V_{0} [10 x - 2 x^{2}]_{1}^{5/2} = p_{0} V_{0} (12.5 - 8) = \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$ 。

検算： $Δ U = \frac{3}{2} (\frac{3}{2} p_{0} \cdot \frac{5}{2} V_{0} - 3 p_{0} V_{0}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} p_{0} V_{0} = \frac{9}{8} p_{0} V_{0}$ 。仕事は台形の面積で $\frac{3 p _{0} + 1.5 p _{0}}{2} \cdot \frac{3}{2} V_{0} = \frac{27}{8} p_{0} V_{0}$ 。和は $\frac{36}{8} = \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$ となり一致する。

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