熱と気体の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理熱と気体

物質量が一定の単原子分子理想気体がある。この気体の状態を、 $p$ - $V$ 図（縦軸に圧力 $p$ 、横軸に体積 $V$ をとった図）上で、圧力 $3 p_{0}$ ・体積 $V_{0}$ の状態 $A$ から、圧力 $p_{0}$ ・体積 $5 V_{0}$ の状態 $B$ まで、2 点を結ぶ線分に沿ってゆっくり変化させた。この過程の途中で、気体ははじめ熱を吸収し、ある体積をこえると熱を放出するようになる。状態 $A$ から、熱の吸収が放出に切りかわるまでに気体が吸収した熱量を、 $p_{0}$ , $V_{0}$ を用いて表せ。ただし、単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} p V$ で表されるものとする。

A

B

V

p

O

V_{0}

5 V_{0}

p_{0}

3 p_{0}

この問題で使うもの

直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり」を使います。途中の体積 $V$ までに吸収した熱量 $Q (V)$ を熱力学第一法則 $Q = Δ U + W$ で $V$ の 2 次関数として表し、その最大値を考えます。

ヒント 2

線分の式は $p = \frac{7}{2} p_{0} - \frac{p _{0}}{2 V _{0}} V$ です。 $Δ U = \frac{3}{2} (p V - 3 p_{0} V_{0})$ 、 $W$ は台形の面積 $\frac{1}{2} (3 p_{0} + p) (V - V_{0})$ で求めます。

ヒント 3

$Q (V) = - \frac{p _{0}}{V _{0}} V^{2} + \frac{35}{4} p_{0} V - \frac{31}{4} p_{0} V_{0}$ となります。これを平方完成して頂点を求めましょう。

答えと解説

答えを見る

\frac{729}{64} p_{0} V_{0}

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解説を読む

方針: 途中の体積 $V$ （ $V_{0} \leq V \leq 5 V_{0}$ ）までに吸収した熱量 $Q (V)$ を、熱力学第一法則 $Q = Δ U + W$ から $V$ の 2 次関数で表す。 $Q (V)$ は吸収している間は増え、放出しはじめると減るので、 $Q (V)$ が最大になる体積が切りかわりの点であり、その最大値が求める熱量である。

1. 線分の式
2 点 $(V_{0}, 3 p_{0})$ , $(5 V_{0}, p_{0})$ を通る直線の傾きは $\frac{p _{0} - 3 p _{0}}{5 V _{0} - V _{0}} = - \frac{p _{0}}{2 V _{0}}$ なので
$p = 3 p_{0} - \frac{p _{0}}{2 V _{0}} (V - V_{0}) = \frac{7}{2} p_{0} - \frac{p _{0}}{2 V _{0}} V$
よって
$p V = \frac{7}{2} p_{0} V - \frac{p _{0}}{2 V _{0}} V^{2}$

2. 内部エネルギーの変化
状態 $A$ では $p V = 3 p_{0} V_{0}$ なので
$Δ U = \frac{3}{2} (p V - 3 p_{0} V_{0}) = \frac{21}{4} p_{0} V - \frac{3 p _{0}}{4 V _{0}} V^{2} - \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$

3. 気体がした仕事
$p$ - $V$ 図で線分と $V$ 軸で囲まれた台形の面積なので
$W = \frac{1}{2} (3 p_{0} + p) (V - V_{0}) = \frac{1}{2} (\frac{13}{2} p_{0} - \frac{p _{0}}{2 V _{0}} V) (V - V_{0})$
展開すると
$W = \frac{1}{2} (7 p_{0} V - \frac{p _{0}}{2 V _{0}} V^{2} - \frac{13}{2} p_{0} V_{0}) = \frac{7}{2} p_{0} V - \frac{p _{0}}{4 V _{0}} V^{2} - \frac{13}{4} p_{0} V_{0}$

4. 吸収した熱量 $Q (V)$
熱力学第一法則 $Δ U = Q - W$ より $Q = Δ U + W$ なので
$Q (V) = - \frac{p _{0}}{V _{0}} V^{2} + \frac{35}{4} p_{0} V - \frac{31}{4} p_{0} V_{0}$
平方完成すると
$Q (V) = - \frac{p _{0}}{V _{0}} (V - \frac{35}{8} V_{0})^{2} + \frac{729}{64} p_{0} V_{0}$
（確認: $\frac{p _{0}}{V _{0}} \cdot (\frac{35}{8} V_{0})^{2} = \frac{1225}{64} p_{0} V_{0}$ 、 $\frac{1225}{64} - \frac{729}{64} = \frac{496}{64} = \frac{31}{4}$ ）

5. 切りかわりの点と吸収した熱量
$Q (V)$ は上に凸の放物線で、軸は $V = \frac{35}{8} V_{0}$ である。これは $V_{0} \leq V \leq 5 V_{0}$ の範囲内にある。 $V < \frac{35}{8} V_{0}$ では $Q$ が増えている（熱を吸収している）、 $V > \frac{35}{8} V_{0}$ では $Q$ が減っている（熱を放出している）ので、 $V = \frac{35}{8} V_{0}$ で吸収が放出に切りかわる。
それまでに吸収した熱量は $Q$ の最大値で
$Q = \frac{729}{64} p_{0} V_{0}$

（参考: $V = 5 V_{0}$ では $Q = - 25 p_{0} V_{0} + \frac{175}{4} p_{0} V_{0} - \frac{31}{4} p_{0} V_{0} = 11 p_{0} V_{0}$ で、 $Δ U = \frac{3}{2} (5 - 3) p_{0} V_{0} = 3 p_{0} V_{0}$ 、 $W = \frac{1}{2} (3 + 1) \cdot 4 p_{0} V_{0} = 8 p_{0} V_{0}$ の和と一致する。）

別解

線分上の圧力は $p = \frac{7}{2} p_{0} - \frac{p _{0}}{2 V _{0}} V$ と表せる。微小変化で吸収する熱量は $d Q = d U + p d V = \frac{3}{2} (p d V + V d p) + p d V = \frac{5}{2} p d V + \frac{3}{2} V d p$ 。ここで $d p = - \frac{p _{0}}{2 V _{0}} d V$ を代入すると $\frac{d Q}{d V} = \frac{35}{4} p_{0} - \frac{2 p _{0}}{V _{0}} V$ 。これが 0 になるのは $V = \frac{35}{8} V_{0}$ で、 $V_{0} \leq V \leq 5 V_{0}$ の範囲内にある。この体積までは $d Q > 0$ （吸熱）、これをこえると $d Q < 0$ （放熱）となる。

この点で $p = \frac{21}{16} p_{0}$ 。
$Δ U = \frac{3}{2} \cdot \frac{21}{16} \cdot \frac{35}{8} p_{0} V_{0} - \frac{9}{2} p_{0} V_{0} = \frac{2205 - 1152}{256} p_{0} V_{0} = \frac{1053}{256} p_{0} V_{0}$ 。
気体がする仕事は台形の面積で $W = \frac{1}{2} (3 + \frac{21}{16}) p_{0} \cdot \frac{27}{8} V_{0} = \frac{1863}{256} p_{0} V_{0}$ 。
よって $Q = Δ U + W = \frac{2916}{256} p_{0} V_{0} = \frac{729}{64} p_{0} V_{0}$ 。

検算： $\int_{V_{0}}^{35 V_{0} /8} (\frac{35}{4} p_{0} - \frac{2 p _{0}}{V _{0}} V) d V = \frac{945}{32} - (\frac{1225}{64} - 1) = \frac{729}{64}$ （ $p_{0} V_{0}$ 単位）。一致する。

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