熱と気体の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理熱と気体

物質量が一定の単原子分子理想気体を、 $p$ - $V$ 図上で状態 $A$ （圧力 $3 p_{0}$ 、体積 $V_{0}$ ）から状態 $B$ （圧力 $p_{0}$ 、体積 $3 V_{0}$ ）まで、2 点を結ぶ線分に沿ってゆっくり変化させる。ただし $p_{0} > 0$ , $V_{0} > 0$ とする。この過程の途中で、気体は熱を吸収していたが、ある体積から先は熱を放出するようになる。 $A$ から、熱の吸収が放出に切りかわる状態までに気体が吸収した熱量を、 $p_{0}$ , $V_{0}$ を用いて表せ。

V

p

O

V_{0}

3 V_{0}

p_{0}

3 p_{0}

この問題で使うもの

直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

熱力学第一法則 $Q = Δ U + W$ を使い、途中の体積 $V$ までに吸収した熱量 $Q$ を $V$ の式で表しましょう。 $Q$ が増えている間が吸収、減り始めたら放出です。

ヒント 2

線分の式は $p = 4 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} V$ です。 $Δ U = \frac{3}{2} (p V - 3 p_{0} V_{0})$ 、 $W$ は $V_{0}$ から $V$ までの台形の面積として求めます。

ヒント 3

$Q = - \frac{2 p _{0}}{V _{0}} V^{2} + 10 p_{0} V - 8 p_{0} V_{0}$ となります。これを平方完成して頂点を求めましょう。

答えと解説

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\frac{9}{2} p_{0} V_{0}

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解説を読む

手順 1：線分の式を求める。
2 点 $(V_{0}, 3 p_{0})$ , $(3 V_{0}, p_{0})$ を通る直線の傾きは $\frac{p _{0} - 3 p _{0}}{3 V _{0} - V _{0}} = - \frac{p _{0}}{V _{0}}$ なので
$p = 4 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} V (V_{0} \leq V \leq 3 V_{0})$

手順 2：体積 $V$ までの内部エネルギーの変化 $Δ U$ を求める。
単原子分子理想気体なので $U = \frac{3}{2} p V$ である。
$p V = 4 p_{0} V - \frac{p _{0}}{V _{0}} V^{2}$
であり、 $A$ では $p V = 3 p_{0} V_{0}$ だから
$Δ U = \frac{3}{2} (4 p_{0} V - \frac{p _{0}}{V _{0}} V^{2} - 3 p_{0} V_{0}) = - \frac{3 p _{0}}{2 V _{0}} V^{2} + 6 p_{0} V - \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$

手順 3：体積 $V$ までに気体がした仕事 $W$ を求める。
$W$ は $p$ - $V$ 図でグラフと $V$ 軸で囲まれた台形の面積である。体積 $V$ での圧力は $4 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} V$ なので
$W = \frac{1}{2} {3 p_{0} + (4 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} V)} (V - V_{0}) = \frac{p _{0}}{2 V _{0}} (7 V_{0} - V) (V - V_{0})$
$= - \frac{p _{0}}{2 V _{0}} V^{2} + 4 p_{0} V - \frac{7}{2} p_{0} V_{0}$

手順 4：吸収した熱量 $Q$ を $V$ の 2 次関数で表す。
熱力学第一法則 $Δ U = Q - W$ より $Q = Δ U + W$ だから
$Q = - \frac{2 p _{0}}{V _{0}} V^{2} + 10 p_{0} V - 8 p_{0} V_{0}$

手順 5：平方完成して、切りかわる点を求める。
$Q = - \frac{2 p _{0}}{V _{0}} (V^{2} - 5 V_{0} V) - 8 p_{0} V_{0} = - \frac{2 p _{0}}{V _{0}} (V - \frac{5}{2} V_{0})^{2} + \frac{25}{2} p_{0} V_{0} - 8 p_{0} V_{0}$
$= - \frac{2 p _{0}}{V _{0}} (V - \frac{5}{2} V_{0})^{2} + \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$
$Q$ は上に凸の 2 次関数で、軸は $V = \frac{5}{2} V_{0}$ （ $V_{0} \leq V \leq 3 V_{0}$ の範囲内）である。 $V < \frac{5}{2} V_{0}$ では $V$ が増えると $Q$ が増える（熱を吸収している）、 $V > \frac{5}{2} V_{0}$ では $Q$ が減る（熱を放出している）。よって、吸収から放出に切りかわるのは $V = \frac{5}{2} V_{0}$ の状態である。

手順 6：吸収した熱量を求める。
$A$ から $V = \frac{5}{2} V_{0}$ までに吸収した熱量は、 $Q$ の最大値
$\frac{9}{2} p_{0} V_{0}$
である。

別解

線分上の圧力は、 $p = 3 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} (V - V_{0}) = p_{0} (4 - \frac{V}{V _{0}})$ である。 $x = V / V_{0}$ とおくと $p = p_{0} (4 - x)$ となる。

微小変化での吸収熱量は、単原子分子理想気体の内部エネルギー $U = \frac{3}{2} p V$ を使って
$d Q = d U + p d V$
と表せる。
$p V = p_{0} V_{0} x (4 - x)$ より $d U = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} (4 - 2 x) d x$ である。
また $p d V = p_{0} V_{0} (4 - x) d x$ である。
よって
$d Q = p_{0} V_{0} [(6 - 3 x) + (4 - x)] d x = p_{0} V_{0} (10 - 4 x) d x$

$d Q = 0$ となるのは $x = 5/2$ のときである。 $x < 5/2$ では吸熱、 $x > 5/2$ では放熱なので、切りかわる状態は $V = \frac{5}{2} V_{0}$ である。

吸収した熱量は
$Q = p_{0} V_{0} \int_{1}^{5/2} (10 - 4 x) d x = p_{0} V_{0} [10 x - 2 x^{2}]_{1}^{5/2} = p_{0} V_{0} (\frac{25}{2} - 8) = \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$

検算：切りかわる状態では $p = \frac{3}{2} p_{0}$ 、 $V = \frac{5}{2} V_{0}$ である。
内部エネルギーの変化は $Δ U = \frac{3}{2} (\frac{15}{4} - 3) p_{0} V_{0} = \frac{9}{8} p_{0} V_{0}$ となる。
気体がした仕事は台形の面積で、 $W = \frac{3 p _{0} + \frac{3}{2} p _{0}}{2} \cdot \frac{3}{2} V_{0} = \frac{27}{8} p_{0} V_{0}$ となる。
$Δ U + W = \frac{9}{8} p_{0} V_{0} + \frac{27}{8} p_{0} V_{0} = \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$ で、積分の結果と一致する。

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