熱と気体の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理熱と気体

なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、一定量の単原子分子理想気体が閉じこめられている。この気体の状態を、次の 4 つの過程からなるサイクル $A \to B \to C \to D \to A$ のようにゆっくり変化させる。

状態 $A$ : 圧力 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、体積 $2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$
$A \to B$ : 体積を一定に保ったまま、圧力を $3.0 \times 1 0^{5} Pa$ まで上げる（定積変化）
$B \to C$ : 圧力を一定に保ったまま、体積を $4.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ まで増やす（定圧変化）
$C \to D$ : 体積を一定に保ったまま、圧力を $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ まで下げる（定積変化）
$D \to A$ : 圧力を一定に保ったまま、体積を $2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ まで減らし、状態 $A$ にもどす（定圧変化）

単原子分子理想気体の内部エネルギーは、圧力 $p$ 、体積 $V$ を用いて $U = \frac{3}{2} p V$ と表される。このサイクルを熱機関とみなしたときの熱効率を、有効数字 2 桁で求めよ。

A

B

C

D

V [1 0^{- 3} m^{3}]

p [1 0^{5} Pa]

O

2.0

4.0

1.0

3.0

この問題で使うもの

熱機関のサイクルと熱効率（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（53 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

熱機関のサイクルと熱効率の技能を使う。熱効率は $e = \frac{W}{Q _{in}}$ で、 $Q_{in}$ は熱を吸収する過程の熱量だけを足したもの。各過程の熱量は熱力学第一法則 $Q = Δ U + W$ から求める。

ヒント 2

定積変化では $Q = \frac{3}{2} V Δ p$ 、定圧変化では $Q = \frac{5}{2} p Δ V$ となる。正味の仕事は $p$ - $V$ 図でサイクルが囲む長方形の面積。

ヒント 3

$Q_{AB} = 600 J$ 、 $Q_{BC} = 1500 J$ （どちらも吸収）、 $Q_{CD}$ と $Q_{DA}$ は負（放出）。正味の仕事は $2.0 \times 1 0^{5} \times 2.0 \times 1 0^{- 3} J$ 。

答えと解説

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0.19

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解説を読む

熱効率は、1 サイクルで気体が吸収した熱量の合計 $Q_{in}$ と、気体が外部にした正味の仕事 $W$ を用いて $e = \frac{W}{Q _{in}}$ で求める。そこで、各過程で気体が吸収する熱量 $Q$ を熱力学第一法則 $Q = Δ U + W$ （ $W$ は気体が外部にした仕事）から求める。内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} p V$ なので、状態変化での変化は $Δ U = \frac{3}{2} Δ (p V)$ である。

$A \to B$ （定積変化）: 体積が変わらないので気体がする仕事は $0$ 。
$Q_{AB} = Δ U = \frac{3}{2} V Δ p = \frac{3}{2} \times (2.0 \times 1 0^{- 3}) \times (2.0 \times 1 0^{5}) = 600 J$
正なので熱を吸収している。

$B \to C$ （定圧変化）: 気体がする仕事は $W = p Δ V$ 、 $Δ U = \frac{3}{2} p Δ V$ なので
$Q_{BC} = \frac{3}{2} p Δ V + p Δ V = \frac{5}{2} p Δ V = \frac{5}{2} \times (3.0 \times 1 0^{5}) \times (2.0 \times 1 0^{- 3}) = 1500 J$
正なので吸収。

$C \to D$ （定積変化）:
$Q_{CD} = \frac{3}{2} V Δ p = \frac{3}{2} \times (4.0 \times 1 0^{- 3}) \times (- 2.0 \times 1 0^{5}) = - 1200 J$
負なので $1200 J$ を放出。

$D \to A$ （定圧変化）:
$Q_{DA} = \frac{5}{2} p Δ V = \frac{5}{2} \times (1.0 \times 1 0^{5}) \times (- 2.0 \times 1 0^{- 3}) = - 500 J$
負なので $500 J$ を放出。

吸収した熱量の合計: 熱を吸収するのは $A \to B$ と $B \to C$ なので
$Q_{in} = 600 + 1500 = 2100 J$

正味の仕事: $p$ - $V$ 図でサイクルが囲む長方形の面積に等しい。
$W = (3.0 \times 1 0^{5} - 1.0 \times 1 0^{5}) \times (4.0 \times 1 0^{- 3} - 2.0 \times 1 0^{- 3}) = 400 J$
（確認: 1 サイクルで $Δ U = 0$ なので $W = 600 + 1500 - 1200 - 500 = 400 J$ と一致する。）

熱効率:
$e = \frac{W}{Q _{in}} = \frac{400}{2100} = \frac{4}{21} ≒ 0.19$

別解

状態を A(1.0×10^5 Pa, 2.0×10^-3 m^3)、B(3.0×10^5, 2.0×10^-3)、C(3.0×10^5, 4.0×10^-3)、D(1.0×10^5, 4.0×10^-3) とする。

正味の仕事 W は p-V 図の長方形の面積で、W = (3.0×10^5 − 1.0×10^5)×(4.0×10^-3 − 2.0×10^-3) = 2.0×10^5 × 2.0×10^-3 = 400 J。サイクルは A→B→C→D→A の向きで、B→C の膨張が高圧側にあるので W は正（気体が外へする仕事）。

各過程の吸熱を求める。
A→B（定積）: ΔU = (3/2)(p_B − p_A)V = 1.5×(2.0×10^5)×(2.0×10^-3) = 600 J。仕事は 0 なので Q_AB = 600 J（吸熱）。
B→C（定圧）: ΔU = 1.5×p(V_C − V_B) = 1.5×3.0×10^5×2.0×10^-3 = 900 J。気体がする仕事は 3.0×10^5×2.0×10^-3 = 600 J。Q_BC = 900 + 600 = 1500 J（吸熱）。
C→D（定積）: 圧力が下がるので放熱。ΔU = 1.5×(−2.0×10^5)×4.0×10^-3 = −1200 J。Q_CD = −1200 J。
D→A（定圧）: ΔU = 1.5×1.0×10^5×(−2.0×10^-3) = −300 J。仕事は −1.0×10^5×2.0×10^-3 = −200 J。Q_DA = −300 − 200 = −500 J（放熱）。

吸熱量の合計 Q_in = 600 + 1500 = 2100 J。放熱量の合計は 1200 + 500 = 1700 J。
W = 2100 − 1700 = 400 J となり、面積と一致する。

熱効率 e = W/Q_in = 400/2100 = 0.1904… ≈ 0.19。

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