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熱と気体の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理熱と気体

物質量 $n$ の単原子分子理想気体を作業物質とする熱機関がある。気体の圧力を $p$ 、体積を $V$ として、気体の状態を次の 3 つの過程からなるサイクル $A \to B \to C \to A$ でゆっくり変化させる。 $p_{0}$ 、 $V_{0}$ は正の定数である。

$A \to B$ : 体積を $V_{0}$ に保ったまま、圧力を $p_{0}$ から $3 p_{0}$ にする
$B \to C$ : $p$ - $V$ 図上で、点 $B (V_{0}, 3 p_{0})$ と点 $C (3 V_{0}, p_{0})$ を結ぶ線分に沿って変化させる
$C \to A$ : 圧力を $p_{0}$ に保ったまま、体積を $3 V_{0}$ から $V_{0}$ にする

単原子分子理想気体の内部エネルギーは $\frac{3}{2} p V$ と表される。このサイクルの熱効率（1 サイクルで気体が外部にした正味の仕事を、1 サイクルで気体が吸収した熱量の合計で割ったもの）を求めよ。ただし、「吸収した熱量の合計」には、1 つの過程の途中で吸収から放出に切りかわる場合、吸収している部分だけを数える。

A

B

C

V

p

O

V_{0}

3 V_{0}

p_{0}

3 p_{0}

この問題で使うもの

熱機関のサイクルと熱効率（説明と入口の問題）
直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（説明と入口の問題）
気体がする仕事と p-V 図（説明と入口の問題）
理想気体の内部エネルギー（説明と入口の問題）
熱力学第一法則（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

正味の仕事は $p$ - $V$ 図でサイクルが囲む面積である。吸収した熱量は、過程ごとに熱力学第一法則 $Q = Δ U + W$ で考えよう。

ヒント 2

$B \to C$ の直線の過程では、途中で吸収から放出に切りかわる。体積を $Δ V$ だけ増やしたときの $Δ Q = \frac{5}{2} p Δ V + \frac{3}{2} V Δ p$ の符号を調べる。

ヒント 3

線分 $BC$ 上では $p = 4 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} V$ で、 $Δ Q = (10 p_{0} - \frac{4 p _{0}}{V _{0}} V) Δ V$ となり、 $V = \frac{5}{2} V_{0}$ で切りかわる。 $A \to B$ の吸収熱量は $3 p_{0} V_{0}$ である。

答えと解説

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\frac{4}{15}

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解説を読む

正味の仕事

$1$ サイクルで気体がした正味の仕事 $W$ は、 $p$ - $V$ 図でサイクルが囲む三角形の面積に等しい（時計回りなので正）。
$W = \frac{1}{2} \times (3 V_{0} - V_{0}) \times (3 p_{0} - p_{0}) = 2 p_{0} V_{0}$

$A \to B$ （定積変化）

仕事は $0$ なので、熱力学第一法則 $Q = Δ U + W$ より
$Q_{AB} = \frac{3}{2} (3 p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0}) = 3 p_{0} V_{0} > 0 (吸収)$

$C \to A$ （定圧圧縮）

体積が減り（ $W < 0$ ）、 $p V$ も減る（ $Δ U < 0$ ）ので $Q < 0$ で、熱を放出するだけである。

$B \to C$ （直線の過程）

線分 $BC$ 上では $p = 4 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} V$ である。体積が $V$ から $V + Δ V$ にわずかに増えるとき、 $p$ は $Δ p = - \frac{p _{0}}{V _{0}} Δ V$ だけ変わるので、微小量の積を無視すると
$Δ U = \frac{3}{2} (p Δ V + V Δ p), W = p Δ V$
よって吸収する熱量は
$Δ Q = \frac{5}{2} p Δ V + \frac{3}{2} V Δ p = {\frac{5}{2} (4 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} V) - \frac{3}{2} \frac{p _{0}}{V _{0}} V} Δ V = (10 p_{0} - \frac{4 p _{0}}{V _{0}} V) Δ V$
$Δ V > 0$ なので、 $V < \frac{5}{2} V_{0}$ では吸収、 $V > \frac{5}{2} V_{0}$ では放出となる。

$V = \frac{5}{2} V_{0}$ の点を $D$ とすると、 $p_{D} = 4 p_{0} - \frac{5}{2} p_{0} = \frac{3}{2} p_{0}$ 。 $B \to D$ で吸収する熱量は、熱力学第一法則より
$Δ U_{BD} = \frac{3}{2} (\frac{3}{2} p_{0} \cdot \frac{5}{2} V_{0} - 3 p_{0} V_{0}) = \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} p_{0} V_{0} = \frac{9}{8} p_{0} V_{0}$
$W_{BD} = \frac{1}{2} (3 p_{0} + \frac{3}{2} p_{0}) \times \frac{3}{2} V_{0} = \frac{27}{8} p_{0} V_{0} (台形の面積)$
$Q_{BD} = \frac{9}{8} p_{0} V_{0} + \frac{27}{8} p_{0} V_{0} = \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$

熱効率

吸収した熱量の合計は
$Q_{in} = 3 p_{0} V_{0} + \frac{9}{2} p_{0} V_{0} = \frac{15}{2} p_{0} V_{0}$
よって熱効率は
$e = \frac{W}{Q _{in}} = \frac{2 p _{0} V _{0}}{\frac{15}{2} p _{0} V _{0}} = \frac{4}{15}$

別解

A $(V_{0}, p_{0})$ 、B $(V_{0}, 3 p_{0})$ 、C $(3 V_{0}, p_{0})$ とする。

正味の仕事: $p$ - $V$ 図の三角形 ABC の面積で、底辺 AC $= 2 V_{0}$ 、高さ $= 2 p_{0}$ より
$W_{net} = \frac{1}{2} \times 2 V_{0} \times 2 p_{0} = 2 p_{0} V_{0} .$

A→B（定積変化）: 仕事は 0、 $Δ U = \frac{3}{2} (3 p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0}) = 3 p_{0} V_{0}$ なので、吸収する熱量は $Q_{A B} = 3 p_{0} V_{0}$ 。

B→C: 直線は $p = 4 p_{0} - \frac{p _{0}}{V _{0}} V$ （ $V_{0} \leq V \leq 3 V_{0}$ ）。このとき $p V = 4 p_{0} V - \frac{p _{0}}{V _{0}} V^{2}$ で、微小変化に対して
$d U = \frac{3}{2} d (p V) = \frac{3}{2} (4 p_{0} - \frac{2 p _{0} V}{V _{0}}) d V = (6 p_{0} - \frac{3 p _{0} V}{V _{0}}) d V, p d V = (4 p_{0} - \frac{p _{0} V}{V _{0}}) d V .$
$d Q = d U + p d V = (10 p_{0} - \frac{4 p _{0} V}{V _{0}}) d V .$
$d Q > 0$ （吸収）となるのは $V < 2.5 V_{0}$ 、 $V > 2.5 V_{0}$ では放出。吸収する部分は
$Q_{B C}^{+} = \int_{V_{0}}^{2.5 V_{0}} (10 p_{0} - \frac{4 p _{0} V}{V _{0}}) d V = 10 p_{0} (1.5 V_{0}) - \frac{2 p _{0}}{V _{0}} {(2.5 V_{0})^{2} - V_{0}^{2}} = 15 p_{0} V_{0} - 10.5 p_{0} V_{0} = 4.5 p_{0} V_{0} .$
（確認: 残りの $2.5 V_{0} \to 3 V_{0}$ では $- 0.5 p_{0} V_{0}$ を放出し、B→C 全体の正味は $4.0 p_{0} V_{0} = W_{B C}$ （ $Δ U_{B C} = 0$ ）で一致する。）

C→A（定圧圧縮）: 気体は熱を放出する。

吸収した熱量の合計
$Q_{in} = 3 p_{0} V_{0} + 4.5 p_{0} V_{0} = 7.5 p_{0} V_{0} .$

熱効率
$e = \frac{W _{net}}{Q _{in}} = \frac{2 p _{0} V _{0}}{7.5 p _{0} V _{0}} = \frac{4}{15} \approx 0.27.$

検算: 放出する熱量は C→A で $\frac{5}{2} p_{0} \cdot 2 V_{0} = 5 p_{0} V_{0}$ 、B→C で $0.5 p_{0} V_{0}$ の合計 $5.5 p_{0} V_{0}$ で、 $Q_{in} - Q_{out} = 7.5 - 5.5 = 2 p_{0} V_{0} = W_{net}$ と一致する。

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