カルノーサイクル

物質量 $n$ の単原子分子理想気体（比熱比 $\gamma =\frac{5}{3}$）に、次の 4 つの準静的過程からなるカルノーサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}$ を行わせる。

• $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$: 温度 $T$ の高温熱源に接したまま、体積 $V_0$ から $2V_0$ まで等温膨張する
• $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$: 体積 $2V_0$ から $16V_0$ まで断熱膨張する
• $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$: 低温熱源に接したまま等温圧縮する
• $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$: 断熱圧縮してもとの状態 $\mathrm{A}$ にもどる

気体定数を $R$ とする。このサイクル 1 回で気体が外部にする正味の仕事 $W$ を、$n$, $R$, $T$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

温度 $800\mathrm{K}$ の高温熱源、温度 $T_M$ の中間熱源、温度 $200\mathrm{K}$ の低温熱源がある（$200\mathrm{K}<T_M<800\mathrm{K}$）。カルノー機関 A は高温熱源から熱を受け取り、仕事をして、残りの熱を中間熱源に捨てる。カルノー機関 B は、A が中間熱源に捨てた熱をすべて中間熱源から受け取り、仕事をして、残りの熱を低温熱源に捨てる。中間熱源の温度は一定に保たれるものとする。

A と B の熱効率が等しくなるときの $T_M$ を、単位を $\mathrm{K}$ として求めよ。

$n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）を作業物質とするカルノーサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}$ を考える。各過程はすべて準静的であり、
- $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$: 温度 $T_{\mathrm{H}}$ の高温熱源に接して等温膨張し、体積が $V_0$ から $2V_0$ になる
- $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$: 断熱膨張し、体積が $2V_0$ から $16V_0$ になる
- $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$: 低温熱源に接して等温圧縮する
- $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$: 断熱圧縮して状態 A に戻る

である（$n>0$、$V_0>0$、$T_{\mathrm{H}}>0$）。このサイクル 1 回の間に気体が外部にする正味の仕事 $W$ を、$n,R,T_{\mathrm{H}}$ を用いて求めよ。対数は自然対数 $\log$ で表すこと。

ある火力発電所では、温度 $800\mathrm{K}$ の高温の蒸気から熱を受け取り、温度 $300\mathrm{K}$ の川の水に熱を捨てて、定常的に $1.00\times 10^9\mathrm{W}$ の仕率（単位時間あたりの仕事）を取り出している。高温の蒸気と川の水はどちらも温度が変わらない熱源とみなす。この発電所の熱効率は、同じ 2 つの熱源の間で働くカルノー機関の効率の $60.0\%$ であるとする。

この発電所が単位時間あたりに川の水へ捨てる熱量を、$10^9\mathrm{W}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。

温度 $T_{\mathrm{H}}$ のボイラー、温度 $T_1$ の室内、温度 $T_0$ の屋外（$T_{\mathrm{H}}>T_1>T_0>0$）があり、これらはどれも温度が変わらない熱源とみなせる。次のような装置で室内を暖房する。

• 可逆なカルノー機関 E が、ボイラーから熱 $Q_{\mathrm{H}}$（$Q_{\mathrm{H}}>0$）を受け取り、仕事 $W$ をして、残りの熱を室内へ捨てる。
• E がした仕事 $W$ のすべてを使って、可逆なカルノーサイクルを逆向きに運転するヒートポンプ P を動かす。P は屋外から熱をくみ上げ、室内へ熱を送る。

E と P が室内へ送る熱の合計を $Q_{\text{room}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\text{room}}}{Q_{\mathrm{H}}}$ を $T_{\mathrm{H}}$, $T_1$, $T_0$ を用いて求めよ。

温度 $T_{\mathrm{H}}$ の高温熱源と温度 $T_{\mathrm{C}}$ の低温熱源（$T_{\mathrm{H}}>T_{\mathrm{C}}>0$）の間で、定常的に動作する熱機関を考える。熱機関の作業物質は、高温側では温度 $T_1$、低温側では温度 $T_2$ の状態で熱をやりとりし、作業物質の内部では温度 $T_1$ と $T_2$ の間で可逆なカルノーサイクルを行うとする（$T_{\mathrm{H}}>T_1>T_2>T_{\mathrm{C}}$）。

熱源と作業物質の間の熱の流れは有限の熱コンダクタンスで決まり、単位時間あたりに高温熱源から作業物質へ流れる熱は ${\dot{Q}}_{\mathrm{H}}=K_{\mathrm{H}}(T_{\mathrm{H}}-T_1)$、作業物質から低温熱源へ流れる熱は ${\dot{Q}}_{\mathrm{C}}=K_{\mathrm{C}}(T_2-T_{\mathrm{C}})$ である（$K_{\mathrm{H}}$, $K_{\mathrm{C}}$ は正の定数）。熱源の温度は変化せず、熱機関は定常状態にあるものとする。

$T_1$, $T_2$ を上の条件のもとで自由に選べるとき、熱機関の出力（単位時間あたりにする仕事）$\mathcal{P}={\dot{Q}}_{\mathrm{H}}-{\dot{Q}}_{\mathrm{C}}$ の最大値を $K_{\mathrm{H}}$, $K_{\mathrm{C}}$, $T_{\mathrm{H}}$, $T_{\mathrm{C}}$ を用いて求めよ。