熱力学の問題

温度 $T_{\mathrm{H}}=900\mathrm{K}$ の高温熱源と温度 $T_{\mathrm{C}}=400\mathrm{K}$ の低温熱源の間で、定常的にはたらく熱機関を考える。作業物質は高温側では一定の温度 $T_1$（$T_{\mathrm{C}}<T_1<T_{\mathrm{H}}$）で熱を受け取り、高温熱源から作業物質へ流れる熱の流量（単位時間あたりの熱量）は
$${\dot{Q}}_{\mathrm{H}}=K(T_{\mathrm{H}}-T_1),K=2W/K$$
で与えられる。低温側の熱の受け渡しは理想的で、作業物質は温度 $T_{\mathrm{C}}$ のまま低温熱源へ熱を捨てるものとする。作業物質は温度 $T_1$ と $T_{\mathrm{C}}$ の間で可逆なカルノーサイクルを行い、熱源の温度は変わらないとする。$T_1$ を調節したときの、この熱機関の出力（単位時間あたりの仕事）の最大値は何 W か。整数で求めよ。

2 つの物体 A, B があり、どちらも体積は一定に保たれ、熱容量は温度 $T$ に比例して $C(T)=aT$（$a$ は正の定数）で与えられる。はじめ A の温度は $T_0$、B の温度は $2T_0$ である（$T_0>0$）。

A を低温側、B を高温側の熱源として、微小なカルノーサイクル（可逆機関）を繰り返し運転し、A と B の温度が等しくなるまで外部に仕事を取り出す。熱機関の作業物質は各サイクルで元の状態に戻り、A, B と熱機関以外との熱のやりとりはないものとする。

このとき外部に取り出される仕事の総量を $W$ とする。$\frac{W}{a{T}_0^2}$ の値を求めよ。

ある純物質の液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、考える温度範囲で
$$\log \frac{P}{P_{\ast }}=-\frac{B}{T}-k\log \frac{T}{T_{\ast }}$$
で表されるとする。ここで $P$ は飽和蒸気圧、$T$ は絶対温度、$P_{\ast },T_{\ast },B,k$ は正の定数である。次の近似を用いる。
- 気相は理想気体とみなし、その定圧モル比熱は $C_P^{\mathrm{g}}=4R$（$R$ は気体定数）で温度・圧力によらない
- 液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視できる

蒸気圧曲線に沿って（つねに飽和状態を保ちながら）気相 1 mol の温度を準静的に変えるとき、気相が吸収する熱を $\delta Q$ として、飽和蒸気のモル比熱を $C_{\sigma }=\frac{\delta Q}{dT}$ と定義する。$C_{\sigma }=0$ となる温度 $T$ を、$B$ と $k$ を用いて求めよ。ただし、その温度は上の式が成り立つ範囲にあるものとする。

低温の結晶性固体の熱容量は、考える温度範囲で $$C(T)=a{T}^3$$ と表されるとする（デバイの $T^3$ 則）。ここで $T$ は絶対温度、$a$ は正の定数である。固体の体積変化は無視する。

はじめ温度 $T_0$（$T_0>0$）の熱平衡状態にあるこの固体を、温度 $2T_0$ に保たれた熱源（熱容量が十分大きく、温度が変わらないとみなせる）に接触させた。固体と熱源の間だけで熱がやりとりされ、やがて固体は温度 $2T_0$ の熱平衡状態に達した。$T_0$ から $2T_0$ までの温度範囲で、上の熱容量の式が成り立つものとする。

この過程での、固体と熱源を合わせた系全体のエントロピー変化を、$a$, $T_0$ を用いて表せ。

$n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）を、圧力 $3P_0$・体積 $V_0$ の状態 $\mathrm{A}$ から、圧力 $P_0$・体積 $3V_0$ の状態 $\mathrm{B}$ まで、$P$-$V$ 図上で $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を結ぶ線分にそって準静的に変化させた（$P_0>0$, $V_0>0$）。

この過程の途中で、気体は外部から熱を吸収する部分と、外部へ熱を放出する部分がある。$\mathrm{A}\to \mathrm{B}$ の過程全体で、気体が外部から吸収した熱の総量（放出した熱を差し引かない量）を、$P_0$, $V_0$ を用いて求めよ。