有限の熱伝達をもつ熱機関の出力

熱源と作業物質の間の有限の熱伝達 $Q ˙ = K Δ T$ と内部の可逆サイクルの条件を連立し、出力を最大にする条件と最大出力・そのときの効率（ $1 - T_{C} / T_{H}$ ）を求められる

前提

カルノーの定理と効率・成績係数の上限（大学物理熱力学）
2 変数関数の極値（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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2 変数関数の極値（大学数学微分積分）

説明

実際の熱機関は、熱源との温度差がないと熱を受け取れないため、カルノー効率で動かすと熱の流れが 0 になり出力も 0 になってしまいます。この技能では、熱源と作業物質の間で熱が $Q ˙ = K Δ T$ （ $K$ は熱コンダクタンス）の速さで流れ、作業物質の内部は可逆サイクルとして動くというモデルを立て、出力（単位時間あたりの仕事）を最大にする条件、最大出力、そのときの効率 $1 - T_{C} / T_{H}$ を求められるようになります。発電所などの現実の機関の効率の目安を見積もるときに使います。

なぜそうしてよいのか

高温熱源の温度を $T_{H}$ 、低温熱源の温度を $T_{C}$ とし、作業物質は高温側で温度 $T_{h}$ 、低温側で温度 $T_{c}$ （ $T_{H} > T_{h} > T_{c} > T_{C}$ ）の可逆サイクルを定常的に回すとします。熱の流れは $Q ˙_{H} = K_{H} (T_{H} - T_{h})$ 、 $Q ˙_{C} = K_{C} (T_{c} - T_{C})$ です。内部は温度 $T_{h}$ と $T_{c}$ の間で動く可逆機関なので、カルノーの定理から $\frac{Q ˙ _{C}}{Q ˙ _{H}} = \frac{T _{c}}{T _{h}}$ 、効率は $η = 1 - \frac{T _{c}}{T _{h}}$ で、出力は $P = Q ˙_{H} - Q ˙_{C} = η Q ˙_{H}$ です。

ここには綱引きがあります。 $η$ を大きくしようと $T_{h}$ を $T_{H}$ に、 $T_{c}$ を $T_{C}$ に近づけると、温度差が小さくなって熱の流れ $Q ˙_{H}$ が 0 に近づきます。逆に温度差を大きくとると熱はよく流れますが、 $T_{h}$ と $T_{c}$ が近づいて $η$ が 0 に近づきます。どちらの端でも $P \to 0$ なので、間に最大があるはずです。

実際に計算すると、 $u = 1 - η = \frac{T _{c}}{T _{h}}$ とおいて条件を連立すれば $T_{h}, T_{c}$ が消え、 $Q ˙_{H} = K (T_{H} - \frac{T _{C}}{u})$ 、 $K = \frac{K _{H} K _{C}}{K _{H} + K _{C}}$ となります（熱が 2 つの「抵抗」を直列に通る形です）。したがって $P (u) = K (1 - u) (T_{H} - \frac{T _{C}}{u}) = K (T_{H} + T_{C} - u T_{H} - \frac{T _{C}}{u})$ という 1 変数の関数になり、 $\frac{d P}{d u} = K (\frac{T _{C}}{u ^{2}} - T_{H}) = 0$ から $u = T_{C} / T_{H}$ を得ます。 $\frac{d ^{2} P}{d u ^{2}} = - \frac{2 K T _{C}}{u ^{3}} < 0$ なのでここで最大で、
$η^{*} = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}, P_{m a x} = \frac{K _{H} K _{C}}{K _{H} + K _{C}} (T_{H} - T_{C})^{2}$
となります。最大出力時の効率は $K_{H}, K_{C}$ によらず、熱源の温度だけで決まり、カルノー効率 $1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}$ より必ず小さくなります。

手順

熱の流れを式にする: $Q ˙_{H} = K_{H} (T_{H} - T_{h})$ 、 $Q ˙_{C} = K_{C} (T_{c} - T_{C})$
内部が可逆サイクルである条件 $\frac{Q ˙ _{C}}{Q ˙ _{H}} = \frac{T _{c}}{T _{h}}$ を書き、出力を $P = Q ˙_{H} - Q ˙_{C}$ とする
$u = \frac{T _{c}}{T _{h}}$ を変数に選んで連立し、 $T_{h}, T_{c}$ を消去して $P (u) = K (1 - u) (T_{H} - \frac{T _{C}}{u})$ （ $K = \frac{K _{H} K _{C}}{K _{H} + K _{C}}$ 、 $\frac{T _{C}}{T _{H}} < u < 1$ ）を得る
$\frac{d P}{d u} = 0$ を解いて $u = T_{C} / T_{H}$ を求め、2 階導関数が負であることで最大と確かめる
代入して最大出力 $P_{m a x} = K (T_{H} - T_{C})^{2}$ とそのときの効率 $1 - T_{C} / T_{H}$ を求める。必要なら $T_{h}, T_{c}$ も求めて $T_{H} > T_{h} > T_{c} > T_{C}$ を確認する

例題

温度 $T_{H} = 900 K$ の高温熱源と温度 $T_{C} = 400 K$ の低温熱源の間で定常的に働く熱機関がある。作業物質は高温側で一定温度 $T_{h}$ 、低温側で一定温度 $T_{c}$ の可逆サイクルを行い、熱源との間の熱の流れは $Q ˙_{H} = K_{H} (T_{H} - T_{h})$ 、 $Q ˙_{C} = K_{C} (T_{c} - T_{C})$ で与えられる。ここで $K_{H} = K_{C} = 200 W/K$ である。 $T_{h}, T_{c}$ を変えたときの出力 $P = Q ˙_{H} - Q ˙_{C}$ の最大値を W 単位で求めよ。

例題の解答

手順 1: $Q ˙_{H} = 200 (900 - T_{h})$ 、 $Q ˙_{C} = 200 (T_{c} - 400)$ 。

手順 2: 内部は可逆なので $\frac{Q ˙ _{C}}{Q ˙ _{H}} = \frac{T _{c}}{T _{h}}$ 、 $P = Q ˙_{H} - Q ˙_{C}$ 。

手順 3: $K = \frac{200 \cdot 200}{200 + 200} = 100 W/K$ で、 $u = \frac{T _{c}}{T _{h}}$ とおくと $P (u) = 100 (1 - u) (900 - \frac{400}{u})$ （ $\frac{4}{9} < u < 1$ ）。

手順 4: $\frac{d P}{d u} = 100 (\frac{400}{u ^{2}} - 900) = 0$ より $u = \frac{2}{3}$ 。 $\frac{d ^{2} P}{d u ^{2}} = - \frac{80000}{u ^{3}} < 0$ なので最大。

手順 5: $P_{m a x} = 100 (900 - 400)^{2} = 100 \times (30 - 20)^{2} = 10000 W$ 。確認として、このとき $T_{h} = 750 K$ 、 $T_{c} = 500 K$ で、 $Q ˙_{H} = 30000 W$ 、 $Q ˙_{C} = 20000 W$ 、 $\frac{T _{c}}{T _{h}} = \frac{2}{3}$ を満たし、効率は $1 - \frac{400}{900} = \frac{1}{3}$ である。

答え: $10000$

よくある誤り

出力を最大にするときもカルノー効率 $1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}$ で動くとしてしまう誤り。カルノー効率では $T_{h} = T_{H}$ 、 $T_{c} = T_{C}$ となり熱が流れず $P = 0$ である。正しくは最大出力時の効率は $1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}$
内部の可逆条件を外の熱源の温度で書いて $\frac{Q ˙ _{C}}{Q ˙ _{H}} = \frac{T _{C}}{T _{H}}$ としてしまう誤り。可逆なのは作業物質の内部サイクルだけなので、正しくは作業物質の温度で $\frac{Q ˙ _{C}}{Q ˙ _{H}} = \frac{T _{c}}{T _{h}}$
熱の流れが直列に 2 つの熱コンダクタンスを通ることを忘れて、合成を $K = K_{H} + K_{C}$ としてしまう誤り。正しくは $K = \frac{K _{H} K _{C}}{K _{H} + K _{C}}$ で、 $K_{H} = K_{C} = k$ なら $K = \frac{k}{2}$
$T_{h}$ と $T_{c}$ を互いに無関係な変数として $P = K_{H} (T_{H} - T_{h}) - K_{C} (T_{c} - T_{C})$ をそのまま最大化してしまう誤り（ $T_{h} \to T_{C}$ などおかしな結果になる）。正しくは可逆条件 $\frac{Q ˙ _{C}}{Q ˙ _{H}} = \frac{T _{c}}{T _{h}}$ で 2 つを結びつけてから最大化する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
温度 $T_{H} = 900 K$ の高温熱源と温度 $T_{C} = 400 K$ の低温熱源の間で、定常的にはたらく熱機関を考える。作業物質は高温側では一定の温度 $T_{1}$ （ $T_{C} < T_{1} < T_{H}$ ）で熱を受け取り、高温熱源から作業物質へ流れる熱の流量（単位時間あたりの熱量）は
$Q ˙_{H} = K (T_{H} - T_{1}), K = 2 W/K$
で与えられる。低温側の熱の受け渡しは理想的で、作業物質は温度 $T_{C}$ のまま低温熱源へ熱を捨てるものとする。作業物質は温度 $T_{1}$ と $T_{C}$ の間で可逆なカルノーサイクルを行い、熱源の温度は変わらないとする。 $T_{1}$ を調節したときの、この熱機関の出力（単位時間あたりの仕事）の最大値は何 W か。整数で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
温度 $T_{H}$ の高温熱源と温度 $T_{C}$ の低温熱源（ $T_{H} > T_{C} > 0$ ）の間で、定常的に動作する熱機関を考える。熱機関の作業物質は、高温側では温度 $T_{1}$ 、低温側では温度 $T_{2}$ の状態で熱をやりとりし、作業物質の内部では温度 $T_{1}$ と $T_{2}$ の間で可逆なカルノーサイクルを行うとする（ $T_{H} > T_{1} > T_{2} > T_{C}$ ）。
熱源と作業物質の間の熱の流れは有限の熱コンダクタンスで決まり、単位時間あたりに高温熱源から作業物質へ流れる熱は $Q ˙_{H} = K_{H} (T_{H} - T_{1})$ 、作業物質から低温熱源へ流れる熱は $Q ˙_{C} = K_{C} (T_{2} - T_{C})$ である（ $K_{H}$ , $K_{C}$ は正の定数）。熱源の温度は変化せず、熱機関は定常状態にあるものとする。
$T_{1}$ , $T_{2}$ を上の条件のもとで自由に選べるとき、熱機関の出力（単位時間あたりにする仕事） $P = Q ˙_{H} - Q ˙_{C}$ の最大値を $K_{H}$ , $K_{C}$ , $T_{H}$ , $T_{C}$ を用いて求めよ。