熱力学の問題

温度 $T_{\mathrm{H}}$ の高温熱源と温度 $T_{\mathrm{C}}$ の低温熱源（$T_{\mathrm{H}}>T_{\mathrm{C}}>0$）の間で、定常的に動作する熱機関を考える。熱機関の作業物質は、高温側では温度 $T_1$、低温側では温度 $T_2$ の状態で熱をやりとりし、作業物質の内部では温度 $T_1$ と $T_2$ の間で可逆なカルノーサイクルを行うとする（$T_{\mathrm{H}}>T_1>T_2>T_{\mathrm{C}}$）。

熱源と作業物質の間の熱の流れは有限の熱コンダクタンスで決まり、単位時間あたりに高温熱源から作業物質へ流れる熱は ${\dot{Q}}_{\mathrm{H}}=K_{\mathrm{H}}(T_{\mathrm{H}}-T_1)$、作業物質から低温熱源へ流れる熱は ${\dot{Q}}_{\mathrm{C}}=K_{\mathrm{C}}(T_2-T_{\mathrm{C}})$ である（$K_{\mathrm{H}}$, $K_{\mathrm{C}}$ は正の定数）。熱源の温度は変化せず、熱機関は定常状態にあるものとする。

$T_1$, $T_2$ を上の条件のもとで自由に選べるとき、熱機関の出力（単位時間あたりにする仕事）$\mathcal{P}={\dot{Q}}_{\mathrm{H}}-{\dot{Q}}_{\mathrm{C}}$ の最大値を $K_{\mathrm{H}}$, $K_{\mathrm{C}}$, $T_{\mathrm{H}}$, $T_{\mathrm{C}}$ を用いて求めよ。

ある火力発電所では、温度 $800\mathrm{K}$ の高温の蒸気から熱を受け取り、温度 $300\mathrm{K}$ の川の水に熱を捨てて、定常的に $1.00\times 10^9\mathrm{W}$ の仕率（単位時間あたりの仕事）を取り出している。高温の蒸気と川の水はどちらも温度が変わらない熱源とみなす。この発電所の熱効率は、同じ 2 つの熱源の間で働くカルノー機関の効率の $60.0\%$ であるとする。

この発電所が単位時間あたりに川の水へ捨てる熱量を、$10^9\mathrm{W}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。

冷凍庫が、内部（絶対温度 $250\mathrm{K}$ に保たれている）から熱を汲み出し、室内（絶対温度 $300\mathrm{K}$ に保たれている）へ熱を捨てる冷凍機としてはたらいている。冷凍庫の内部と室内はどちらも温度が変わらない熱源とみなせるものとする。冷凍機をサイクルとして動かし、冷凍庫の内部から $1000\mathrm{J}$ の熱を汲み出すために外部から冷凍機に加えなければならない仕事の最小値は何 J か。整数で求めよ。

温度 $800\mathrm{K}$ の高温熱源、温度 $T_M$ の中間熱源、温度 $200\mathrm{K}$ の低温熱源がある（$200\mathrm{K}<T_M<800\mathrm{K}$）。カルノー機関 A は高温熱源から熱を受け取り、仕事をして、残りの熱を中間熱源に捨てる。カルノー機関 B は、A が中間熱源に捨てた熱をすべて中間熱源から受け取り、仕事をして、残りの熱を低温熱源に捨てる。中間熱源の温度は一定に保たれるものとする。

A と B の熱効率が等しくなるときの $T_M$ を、単位を $\mathrm{K}$ として求めよ。

温度によらない同じ一定の熱容量 $C$ をもつ 2 つの物体 A, B がある（体積変化は無視できる）。はじめ A の絶対温度は $4T_0$、B の絶対温度は $T_0$ である（$C>0$, $T_0>0$）。A を高温熱源、B を低温熱源として熱機関をはたらかせ、2 つの物体が同じ温度になるまで仕事を取り出す。熱機関はサイクルとして動作し、熱は A, B と熱機関の間でだけやりとりされるものとする。取り出せる仕事の最大値 $W_{\max }$ を、$C$, $T_0$ を用いて表せ。