熱力学の問題

温度 $273\mathrm{K}$ に保たれた冷凍室の中に、温度 $273\mathrm{K}$ の水 $1.00\mathrm{kg}$ がある。この水をすべて温度 $273\mathrm{K}$ の氷にするために、冷凍室から熱を汲み出して温度 $300\mathrm{K}$ の室内に捨てる冷凍機を動かす。冷凍室と室内はどちらも温度が変わらない熱源とみなせ、冷凍機はこの 2 つの熱源の間でだけ熱をやりとりするものとする。水の凝固熱（単位質量あたり）を $334kJ/kg$ とする。

冷凍機がどのような仕組みであっても、この目的のために冷凍機に外部から加えなければならない仕事には最小値がある。その最小値を $\mathrm{kJ}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。

温度 $800\mathrm{K}$ の高温熱源、温度 $T_M$ の中間熱源、温度 $200\mathrm{K}$ の低温熱源がある（$200\mathrm{K}<T_M<800\mathrm{K}$）。カルノー機関 A は高温熱源から熱を受け取り、仕事をして、残りの熱を中間熱源に捨てる。カルノー機関 B は、A が中間熱源に捨てた熱をすべて中間熱源から受け取り、仕事をして、残りの熱を低温熱源に捨てる。中間熱源の温度は一定に保たれるものとする。

A と B の熱効率が等しくなるときの $T_M$ を、単位を $\mathrm{K}$ として求めよ。

温度 $T_{\mathrm{H}}=900\mathrm{K}$ の高温熱源と温度 $T_{\mathrm{C}}=400\mathrm{K}$ の低温熱源の間で、定常的にはたらく熱機関を考える。作業物質は高温側では一定の温度 $T_1$（$T_{\mathrm{C}}<T_1<T_{\mathrm{H}}$）で熱を受け取り、高温熱源から作業物質へ流れる熱の流量（単位時間あたりの熱量）は
$${\dot{Q}}_{\mathrm{H}}=K(T_{\mathrm{H}}-T_1),K=2W/K$$
で与えられる。低温側の熱の受け渡しは理想的で、作業物質は温度 $T_{\mathrm{C}}$ のまま低温熱源へ熱を捨てるものとする。作業物質は温度 $T_1$ と $T_{\mathrm{C}}$ の間で可逆なカルノーサイクルを行い、熱源の温度は変わらないとする。$T_1$ を調節したときの、この熱機関の出力（単位時間あたりの仕事）の最大値は何 W か。整数で求めよ。

ある純物質の液体の飽和蒸気圧を測定したところ、温度 $300\mathrm{K}$ で $P_1$、温度 $320\mathrm{K}$ で $2P_1$ であった。

この温度範囲での、この物質の 1 mol あたりの蒸発熱（モル蒸発熱）$L$ を、単位 $J/mol$ で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、蒸発熱はこの温度範囲で一定とし、蒸気は理想気体とみなし、液体のモル体積は蒸気のモル体積に比べて無視できるものとする。気体定数を $R=8.31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、$\log 2=0.693$ とする。

温度 $T_{\mathrm{H}}$ のボイラー、温度 $T_1$ の室内、温度 $T_0$ の屋外（$T_{\mathrm{H}}>T_1>T_0>0$）があり、これらはどれも温度が変わらない熱源とみなせる。次のような装置で室内を暖房する。

• 可逆なカルノー機関 E が、ボイラーから熱 $Q_{\mathrm{H}}$（$Q_{\mathrm{H}}>0$）を受け取り、仕事 $W$ をして、残りの熱を室内へ捨てる。
• E がした仕事 $W$ のすべてを使って、可逆なカルノーサイクルを逆向きに運転するヒートポンプ P を動かす。P は屋外から熱をくみ上げ、室内へ熱を送る。

E と P が室内へ送る熱の合計を $Q_{\text{room}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\text{room}}}{Q_{\mathrm{H}}}$ を $T_{\mathrm{H}}$, $T_1$, $T_0$ を用いて求めよ。