熱力学の問題

冷凍庫が、内部（絶対温度 $250\mathrm{K}$ に保たれている）から熱を汲み出し、室内（絶対温度 $300\mathrm{K}$ に保たれている）へ熱を捨てる冷凍機としてはたらいている。冷凍庫の内部と室内はどちらも温度が変わらない熱源とみなせるものとする。冷凍機をサイクルとして動かし、冷凍庫の内部から $1000\mathrm{J}$ の熱を汲み出すために外部から冷凍機に加えなければならない仕事の最小値は何 J か。整数で求めよ。

ある火力発電所では、温度 $800\mathrm{K}$ の高温の蒸気から熱を受け取り、温度 $300\mathrm{K}$ の川の水に熱を捨てて、定常的に $1.00\times 10^9\mathrm{W}$ の仕率（単位時間あたりの仕事）を取り出している。高温の蒸気と川の水はどちらも温度が変わらない熱源とみなす。この発電所の熱効率は、同じ 2 つの熱源の間で働くカルノー機関の効率の $60.0\%$ であるとする。

この発電所が単位時間あたりに川の水へ捨てる熱量を、$10^9\mathrm{W}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。

温度 $800\mathrm{K}$ の高温熱源、温度 $T_M$ の中間熱源、温度 $200\mathrm{K}$ の低温熱源がある（$200\mathrm{K}<T_M<800\mathrm{K}$）。カルノー機関 A は高温熱源から熱を受け取り、仕事をして、残りの熱を中間熱源に捨てる。カルノー機関 B は、A が中間熱源に捨てた熱をすべて中間熱源から受け取り、仕事をして、残りの熱を低温熱源に捨てる。中間熱源の温度は一定に保たれるものとする。

A と B の熱効率が等しくなるときの $T_M$ を、単位を $\mathrm{K}$ として求めよ。

ある純物質の液体の飽和蒸気圧を測定したところ、温度 $300\mathrm{K}$ で $P_1$、温度 $320\mathrm{K}$ で $2P_1$ であった。

この温度範囲での、この物質の 1 mol あたりの蒸発熱（モル蒸発熱）$L$ を、単位 $J/mol$ で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、蒸発熱はこの温度範囲で一定とし、蒸気は理想気体とみなし、液体のモル体積は蒸気のモル体積に比べて無視できるものとする。気体定数を $R=8.31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、$\log 2=0.693$ とする。

熱容量 $C$（$C>0$、温度によらない定数）の金属球が、温度 $2T_0$ に熱せられている（$T_0>0$）。この金属球を、温度 $T_0$ に保たれた大きな水槽（熱源とみなせる）の中に入れ、熱平衡に達するまで放置した。

この間の、金属球と水槽を合わせた全体のエントロピー変化 $\Delta S_{\text{total}}$ を $C$ を用いて求めよ。ただし、金属球の体積変化は無視でき、金属球と水槽の間以外の熱のやりとりはないものとする。