熱力学の問題

$n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）を作業物質とするカルノーサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}$ を考える。各過程はすべて準静的であり、
- $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$: 温度 $T_{\mathrm{H}}$ の高温熱源に接して等温膨張し、体積が $V_0$ から $2V_0$ になる
- $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$: 断熱膨張し、体積が $2V_0$ から $16V_0$ になる
- $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$: 低温熱源に接して等温圧縮する
- $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$: 断熱圧縮して状態 A に戻る

である（$n>0$、$V_0>0$、$T_{\mathrm{H}}>0$）。このサイクル 1 回の間に気体が外部にする正味の仕事 $W$ を、$n,R,T_{\mathrm{H}}$ を用いて求めよ。対数は自然対数 $\log$ で表すこと。

物質量 $n$ の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）が、温度 $T_0$・体積 $V_0$ の状態から、温度 $2T_0$・体積 $4V_0$ の状態に変化した。この変化による気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を、$n$, $R$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

物質量 $n$ の気体が、状態方程式
$$P=\frac{nRT}{V-nb}$$
に従うとする（$R$ は気体定数、$b$ は正の定数で、$V>nb$ の範囲を考える）。この気体を温度 $T$ を一定に保ったまま、体積 $2nb$ から $3nb$ まで準静的に膨張させた。このときの気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を、$n$, $R$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

$n$ mol の単原子分子理想気体（定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$、$R$ は気体定数）を作業物質として、次の 4 つの準静的過程からなるサイクル $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}$ を行う熱機関を考える（$T_0>0$, $V_0>0$）。

• $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$：体積 $V_0$ のまま、温度を $T_0$ から $2T_0$ まで上げる。
• $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$：温度 $2T_0$ のまま、体積を $V_0$ から $e^2{V}_0$ まで膨張させる（$e$ は自然対数の底）。
• $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$：体積 $e^2{V}_0$ のまま、温度を $2T_0$ から $T_0$ まで下げる。
• $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$：温度 $T_0$ のまま、体積を $e^2{V}_0$ から $V_0$ まで圧縮する。

熱の再利用（再生器）は行わず、気体が熱を吸収する過程の熱はすべて外部の熱源から受け取るものとする。この熱機関の効率（1 サイクルで外部にした正味の仕事を、1 サイクルで外部から吸収した熱の総量で割った値）を求めよ。

単原子分子理想気体が、圧力 $P_0$、体積 $V_0$ の状態から、関係式
$$P{V}^2=P_0{V}_0^2(\text{一定})$$
を保ちながら準静的に膨張し、体積が $2V_0$ になった（$P_0>0$, $V_0>0$）。単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U=\frac{3}{2}PV$ で表されるものとする。この過程で気体が吸収した熱量 $Q$ を $P_0$, $V_0$ を用いて表せ。ただし、気体が熱を放出した場合は $Q$ を負の値で表すものとする。