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熱力学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理熱力学

なめらかに動くピストンのついた容器の中に、熱平衡にある空洞放射（光子気体）がある。この系の圧力 $P$ は体積 $V$ によらず、絶対温度 $T$ だけで
$P = \frac{a}{3} T^{4}$
と表される（ $a$ は正の定数）。

容器を温度 $T_{0}$ （ $T_{0} > 0$ ）の熱源に接触させて温度を $T_{0}$ に保ったまま、体積を $V_{0}$ から $2 V_{0}$ まで準静的に増やした（ $V_{0} > 0$ ）。この間に系が熱源から吸収した熱を、 $a$ , $T_{0}$ , $V_{0}$ を用いて求めよ。

この問題で使うもの

状態方程式から求める熱力学的な量（説明と入口の問題）
マクスウェルの関係式（説明と入口の問題）
一般の準静的過程の仕事と熱（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（104 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

準静的な等温過程で系が吸収する熱は $Q = T_{0} Δ S$ です。

ヒント 2

ヘルムホルツの自由エネルギーから導かれるマクスウェルの関係式 $(\frac{\partial S}{\partial V})_{T} = (\frac{\partial P}{\partial T})_{V}$ を使いましょう。

ヒント 3

$(\frac{\partial P}{\partial T})_{V} = \frac{4 a}{3} T^{3}$ は体積によらないので、 $Δ S$ は体積の増加分 $V_{0}$ に比例します。

答えと解説

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\frac{4}{3} a T_{0}^{4} V_{0}

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解説を読む

吸収した熱とエントロピー 準静的な等温過程なので、系が吸収する熱は
$Q = \int T d S = T_{0} Δ S$
である。 $Δ S$ を求めればよい。

マクスウェルの関係式 ヘルムホルツの自由エネルギー $F = U - T S$ について $d F = - S d T - P d V$ なので
$(\frac{\partial S}{\partial V})_{T} = (\frac{\partial P}{\partial T})_{V} .$
与えられた状態方程式より
$(\frac{\partial P}{\partial T})_{V} = \frac{4 a}{3} T^{3} .$

エントロピー変化 温度 $T_{0}$ で一定のまま体積を $V_{0}$ から $2 V_{0}$ に変えるので
$Δ S = \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} (\frac{\partial S}{\partial V})_{T} d V = \frac{4 a}{3} T_{0}^{3} (2 V_{0} - V_{0}) = \frac{4 a}{3} T_{0}^{3} V_{0} .$

吸収した熱
$Q = T_{0} Δ S = \frac{4}{3} a T_{0}^{4} V_{0} .$

（確認：この間に系がした仕事は $W = P Δ V = \frac{a}{3} T_{0}^{4} V_{0}$ で、内部エネルギーの増加は $Δ U = Q - W = a T_{0}^{4} V_{0}$ 。これは $U = a T^{4} V$ と整合している。）

別解

熱力学の関係式 $(\frac{\partial U}{\partial V})_{T} = T (\frac{\partial P}{\partial T})_{V} - P = T \cdot \frac{4 a}{3} T^{3} - \frac{a}{3} T^{4} = a T^{4}$ 。よって $U = a T^{4} V$ （ $V \to 0$ で $U \to 0$ ）。\n等温過程（温度 $T_{0}$ ）で体積 $V_{0} \to 2 V_{0}$ :\n内部エネルギー変化 $Δ U = a T_{0}^{4} (2 V_{0} - V_{0}) = a T_{0}^{4} V_{0}$ 。\n系のする仕事 $W = \int P d V = \frac{a}{3} T_{0}^{4} \cdot V_{0}$ 。\n $Q = Δ U + W = a T_{0}^{4} V_{0} + \frac{1}{3} a T_{0}^{4} V_{0} = \frac{4}{3} a T_{0}^{4} V_{0}$ 。\n検算: エントロピー $S = \frac{4}{3} a T^{3} V$ より $Q = T_{0} Δ S = T_{0} \cdot \frac{4}{3} a T_{0}^{3} V_{0}$ ✓。

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