有限の熱源から取り出す最大仕事

熱容量が有限の物体を熱源とするとき、可逆な場合に全エントロピー変化が 0 になる条件から最終温度を決め、取り出せる最大仕事をエネルギー保存から求められる

前提

不可逆過程と全エントロピー変化（大学物理熱力学）

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算数中学高校大学大学院

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不可逆過程と全エントロピー変化（大学物理熱力学）

説明

温度が一定に保たれる大きな熱源ではなく、熱を出し入れすると温度が変わってしまう有限の熱容量の物体を熱源として熱機関を動かすとき、最大でどれだけの仕事を取り出せるかを求められるようになります。機関を可逆に動かした場合は全エントロピー変化が 0 になることから最終温度を決め、あとはエネルギー保存（物体が失った内部エネルギーの合計＝取り出した仕事）で最大仕事を計算します。高温と低温の 2 つの物体の温度差を使い切る問題や、物体と大きな熱源の間で仕事を取り出す問題で使います。

なぜそうしてよいのか

熱容量 $C$ の 2 つの物体（温度 $T_{1} > T_{2}$ ）の間で熱機関を何サイクルも動かし、両方が同じ温度 $T_{f}$ になるまで仕事を取り出す場面を考えます。機関の作業物質はサイクルごとに元の状態に戻るので、機関自身のエネルギーとエントロピーは変化しません。エネルギー保存から、取り出した仕事は「高温物体が失った熱 − 低温物体が受け取った熱」で
$W = C (T_{1} - T_{f}) - C (T_{f} - T_{2}) = C (T_{1} + T_{2} - 2 T_{f})$
です。これは $T_{f}$ が低いほど大きくなります。

一方、 $T_{f}$ はいくらでも低くできるわけではありません。全体のエントロピー変化は、各物体を可逆的に温度変化させたとみて $Δ S_{total} = C lo g \frac{T _{f}}{T _{1}} + C lo g \frac{T _{f}}{T _{2}} = C lo g \frac{T _{f}^{2}}{T _{1} T _{2}}$ で、第 2 法則より $Δ S_{total} ≧ 0$ ですから $T_{f} ≧ T_{1} T_{2}$ です。 $T_{f}$ を最も低くできるのは等号のとき、つまり機関が可逆で $Δ S_{total} = 0$ のときで、 $T_{f} = T_{1} T_{2}$ 、最大仕事は $W_{m a x} = C (T_{1} - T_{2})^{2}$ になります。

直観的には、不可逆な部分（有限の温度差での熱の移動など）があるとエントロピーが余分に増え、その分だけ低温物体に余計に熱を捨てて $T_{f}$ が上がり、仕事が減ります。このように「仕事はエネルギー保存で、最終状態はエントロピーで決める」のがこの技能の考え方で、熱容量が温度に依存する場合や、物体と温度一定の熱源の組み合わせでも同じ手順で解けます。

手順

熱を出し入れする物体（と熱源）の始めの温度と熱容量を整理し、最終状態の未知数（例: 共通の最終温度 $T_{f}$ ）を決める
各物体・熱源のエントロピー変化を書き、可逆な場合の条件 $Δ S_{total} = 0$ の式を立てる（機関はサイクルで元に戻るので含めない）。例: $C lo g \frac{T _{f}}{T _{1}} + C lo g \frac{T _{f}}{T _{2}} = 0$
その式を解いて最終温度を求める。例: $T_{f} = T_{1} T_{2}$
エネルギー保存から、取り出した仕事＝（物体・熱源が失ったエネルギーの合計）として $W_{m a x}$ を計算する。例: $W_{m a x} = C (T_{1} + T_{2} - 2 T_{f})$

例題

熱容量がともに $C$ （温度によらず一定）の 2 つの物体があり、一方の温度は $4 T_{0}$ 、もう一方の温度は $T_{0}$ である。この 2 つの物体の間で熱機関を動かし、2 つの物体が同じ温度になるまで仕事を取り出す。物体と機関以外との熱のやりとりはないものとする。取り出せる仕事の最大値を、 $C$ と $T_{0}$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: 2 つの物体の最終温度を $T_{f}$ とする。

手順 2: 最大仕事は機関が可逆のときに得られ、そのとき $Δ S_{total} = C lo g \frac{T _{f}}{4 T _{0}} + C lo g \frac{T _{f}}{T _{0}} = 0$ 。

手順 3: $lo g \frac{T _{f}^{2}}{4 T _{0}^{2}} = 0$ より $T_{f}^{2} = 4 T_{0}^{2}$ 、 $T_{f} > 0$ だから $T_{f} = 2 T_{0}$ 。

手順 4: 高温物体が失った熱は $C (4 T_{0} - 2 T_{0}) = 2 C T_{0}$ 、低温物体が受け取った熱は $C (2 T_{0} - T_{0}) = C T_{0}$ 。エネルギー保存より $W_{m a x} = 2 C T_{0} - C T_{0} = C T_{0}$ 。

答え: $C T_{0}$

よくある誤り

最終温度を熱量の保存の式で決めて $T_{f} = \frac{T _{1} + T _{2}}{2}$ としてしまう誤り。それは仕事を取り出さずに直接接触させたときの温度で、 $W = 0$ になる。正しくは $Δ S_{total} = 0$ から $T_{f} = T_{1} T_{2}$
初めの温度のカルノー効率を使い $W = (1 - \frac{T _{2}}{T _{1}}) C (T_{1} - T_{f})$ としてしまう誤り。物体の温度は機関を動かすうちに変わるので効率も変わり続ける。正しくはエントロピーの条件で $T_{f}$ を決めてから $W_{m a x} = C (T_{1} - T_{f}) - C (T_{f} - T_{2})$
熱機関の作業物質のエントロピー変化を別に加えたり、物体のエントロピー変化を $\frac{Q}{T _{1}}$ のように一定温度で割って求めたりする誤り。機関は 1 サイクルごとに元に戻るので寄与は 0 で、温度の変わる物体については正しくは $Δ S = C lo g \frac{T _{f}}{T _{i}}$
温度一定の大きな熱源（温度 $T_{R}$ ）が相手のときに、熱源のエントロピー変化を忘れる誤り。正しくは熱源が受け取った熱 $Q_{R}$ について $\frac{Q _{R}}{T _{R}}$ も含めて $Δ S_{total} = 0$ を立てる。例えば熱容量 $C$ 、温度 $T_{1}$ の物体と熱源 $T_{R}$ なら $C lo g \frac{T _{R}}{T _{1}} + \frac{Q _{R}}{T _{R}} = 0$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
温度によらない同じ一定の熱容量 $C$ をもつ 2 つの物体 A, B がある（体積変化は無視できる）。はじめ A の絶対温度は $4 T_{0}$ 、B の絶対温度は $T_{0}$ である（ $C > 0$ , $T_{0} > 0$ ）。A を高温熱源、B を低温熱源として熱機関をはたらかせ、2 つの物体が同じ温度になるまで仕事を取り出す。熱機関はサイクルとして動作し、熱は A, B と熱機関の間でだけやりとりされるものとする。取り出せる仕事の最大値 $W_{m a x}$ を、 $C$ , $T_{0}$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

難易度 3（期末試験の応用レベル）
2 つの物体 A, B があり、どちらも体積は一定に保たれ、熱容量は温度 $T$ に比例して $C (T) = a T$ （ $a$ は正の定数）で与えられる。はじめ A の温度は $T_{0}$ 、B の温度は $2 T_{0}$ である（ $T_{0} > 0$ ）。
A を低温側、B を高温側の熱源として、微小なカルノーサイクル（可逆機関）を繰り返し運転し、A と B の温度が等しくなるまで外部に仕事を取り出す。熱機関の作業物質は各サイクルで元の状態に戻り、A, B と熱機関以外との熱のやりとりはないものとする。
このとき外部に取り出される仕事の総量を $W$ とする。 $\frac{W}{a T _{0}^{2}}$ の値を求めよ。