熱力学の問題

圧力 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ のもとで、氷の融点は $T_0=273.15\mathrm{K}$ である。この温度付近で、水のモル質量を $18.0g/mol$、氷の密度を $0.917g/c{\mathrm{m}}^3$、液体の水の密度を $1.000g/c{\mathrm{m}}^3$、氷の融解熱を $6.01kJ/mol$ とする。

氷と水の共存曲線（融解曲線）の傾き $\frac{dP}{dT}$ は、考える範囲で一定とみなせるとし、その値は温度 $T_0$ におけるクラウジウス・クラペイロンの式で計算する。また、密度と融解熱は圧力・温度によらないとする。

氷の融点を $T_0$ より $2.00\mathrm{K}$ 低くするには、圧力を $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ からどれだけ増やせばよいか。圧力の増加分を $\mathrm{MPa}$ 単位で、有効数字 2 桁で求めよ。

ある液体の蒸気圧 $P$ が、ある温度範囲で絶対温度 $T$ の関数として
$$\log \frac{P}{P_0}=a-\frac{B}{T}$$
と表されることが測定からわかった。ここで $P_0$ は圧力の単位をそろえるための定数、$a$ は定数、$B=5000\mathrm{K}$ である。この温度範囲で、蒸発のモル潜熱 $L$ は一定とみなし、蒸気は理想気体、液体のモル体積は蒸気のモル体積に比べて無視できるものとする。気体定数を $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ として、$L$ は何 J/mol か。整数で求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

ある純物質の液体の飽和蒸気圧を測定したところ、温度 $300\mathrm{K}$ で $P_1$、温度 $320\mathrm{K}$ で $2P_1$ であった。

この温度範囲での、この物質の 1 mol あたりの蒸発熱（モル蒸発熱）$L$ を、単位 $J/mol$ で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、蒸発熱はこの温度範囲で一定とし、蒸気は理想気体とみなし、液体のモル体積は蒸気のモル体積に比べて無視できるものとする。気体定数を $R=8.31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、$\log 2=0.693$ とする。

ある純物質の固相と気相が共存する曲線（昇華曲線）と、液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、三重点の近くでそれぞれ
$$\log \frac{P}{P_{\ast }}=\alpha -\frac{\beta }{T}(\text{昇華曲線}),\log \frac{P}{P_{\ast }}=\gamma -\frac{\delta }{T}(\text{蒸気圧曲線})$$
で表されることが測定からわかっている。ここで $P$ は圧力、$T$ は絶対温度、$P_{\ast }$ は圧力の単位となる正の定数、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ は $\alpha >\gamma$, $\beta >\delta >0$ を満たす定数である。

三重点での固相と液相のモル体積をそれぞれ $v_{\mathrm{s}}$, $v_{\mathrm{l}}$（$v_{\mathrm{l}}>v_{\mathrm{s}}>0$）とする。三重点における融解曲線（固相と液相の共存曲線）の傾き $\frac{dP}{dT}$ を、$R$（気体定数）, $\alpha$, $\gamma$, $v_{\mathrm{s}}$, $v_{\mathrm{l}}$ のうち必要なものを用いて求めよ。

ただし、昇華曲線・蒸気圧曲線にクラウジウス・クラペイロンの式を使うときは、固相・液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視でき、気相は理想気体とみなせるものとする。

物質量 $n$ の気体が、状態方程式
$$P=\frac{nRT}{V-nb}$$
に従うとする（$R$ は気体定数、$b$ は正の定数で、$V>nb$ の範囲を考える）。この気体を温度 $T$ を一定に保ったまま、体積 $2nb$ から $3nb$ まで準静的に膨張させた。このときの気体のエントロピー変化 $\Delta S$ を、$n$, $R$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。