熱力学の問題

ある金属は、圧力 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ のもとで温度 $T=600\mathrm{K}$ で融解する。この融点で、融解のモル潜熱は $L=4.8\times 10^{3}J/mol$、固体のモル体積は $V^{\mathrm{s}}=18.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^3/mol$、液体のモル体積は $V^{\mathrm{l}}=18.6\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^3/mol$ である。

この金属にかける圧力を $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ から $\Delta P=1.0\times 10^7\mathrm{Pa}$ だけ増やす。この圧力の範囲で、融解曲線（固体と液体の共存曲線）の傾き $\frac{dT}{dP}$ は一定とみなし、その値は $T=600\mathrm{K}$ での $L$, $V^{\mathrm{s}}$, $V^{\mathrm{l}}$ を用いてクラウジウス・クラペイロンの式から求めてよいものとする。

融点は何 $\mathrm{K}$ 上昇するか。小数第 2 位まで求めよ。

水は圧力 $P_0=1.013\times 10^5\mathrm{Pa}$ のもとで温度 $T_0=373.15\mathrm{K}$ で沸騰する。ある山の上では大気圧が $0.700P_0$ であった。この山の上で水が沸騰する温度 $T$ を求めたい。

次の近似を用いる。
- 水の蒸発熱（1 mol あたり）は $L=40.7kJ/mol$ で、温度によらない
- 水蒸気は理想気体とみなし、液体の水のモル体積は水蒸気のモル体積に比べて無視できる
- 気体定数は $R=8.31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$

$T$ を $\mathrm{K}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。必要なら $\log 0.700=-0.3567$ を用いてよい。

ある純物質の三重点の近くで、固相と気相が共存する曲線（昇華曲線）と、液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、それぞれ次の式で表されるとする。
$$\log \frac{P}{P_0}=a_{\mathrm{s}}-\frac{b_{\mathrm{s}}}{T}(\text{昇華曲線}),\log \frac{P}{P_0}=a_{\mathrm{l}}-\frac{b_{\mathrm{l}}}{T}(\text{蒸気圧曲線})$$
ここで $P$ は共存する圧力、$T$ は絶対温度、$P_0$ は基準の圧力（正の定数）である。$a_{\mathrm{s}},a_{\mathrm{l}},b_{\mathrm{s}},b_{\mathrm{l}}$ は定数で、$a_{\mathrm{s}}>a_{\mathrm{l}}$、$b_{\mathrm{s}}>b_{\mathrm{l}}>0$ を満たす。

この物質のモル質量を $M$、三重点における固相の密度を ${\rho }_{\mathrm{s}}$、液相の密度を ${\rho }_{\mathrm{l}}$（${\rho }_{\mathrm{s}}>{\rho }_{\mathrm{l}}>0$）、気体定数を $R$ とする。気相は理想気体とみなし、気相のモル体積に比べて固相・液相のモル体積は無視できるものとする（昇華曲線・蒸気圧曲線を扱うときのみ）。また、三重点の近くで昇華熱と蒸発熱は温度によらないとする。

このとき、三重点における固相と液相が共存する曲線（融解曲線）の傾き $\frac{dP}{dT}$ を、$a_{\mathrm{s}},a_{\mathrm{l}},M,{\rho }_{\mathrm{s}},{\rho }_{\mathrm{l}},R$ を用いて表せ（SI 単位系で考える）。

ある純物質の固相と気相が共存する曲線（昇華曲線）と、液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、三重点の近くでそれぞれ
$$\log \frac{P}{P_{\ast }}=\alpha -\frac{\beta }{T}(\text{昇華曲線}),\log \frac{P}{P_{\ast }}=\gamma -\frac{\delta }{T}(\text{蒸気圧曲線})$$
で表されることが測定からわかっている。ここで $P$ は圧力、$T$ は絶対温度、$P_{\ast }$ は圧力の単位となる正の定数、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ は $\alpha >\gamma$, $\beta >\delta >0$ を満たす定数である。

三重点での固相と液相のモル体積をそれぞれ $v_{\mathrm{s}}$, $v_{\mathrm{l}}$（$v_{\mathrm{l}}>v_{\mathrm{s}}>0$）とする。三重点における融解曲線（固相と液相の共存曲線）の傾き $\frac{dP}{dT}$ を、$R$（気体定数）, $\alpha$, $\gamma$, $v_{\mathrm{s}}$, $v_{\mathrm{l}}$ のうち必要なものを用いて求めよ。

ただし、昇華曲線・蒸気圧曲線にクラウジウス・クラペイロンの式を使うときは、固相・液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視でき、気相は理想気体とみなせるものとする。

ある純物質の液相と気相が共存する温度範囲を考える。この範囲で、気相は理想気体とみなせ、その定圧モル比熱は $C_P=4R$（$R$ は気体定数）で温度によらない。また、1 mol あたりの蒸発熱（気化熱）は $L$（$L>0$、温度によらない定数）であり、液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視できるものとする。

この物質の気相（液相は含まない）1 mol を、つねにその温度での飽和蒸気（圧力がその温度の飽和蒸気圧に等しい状態）のまま、温度 $T_1$ から温度 $T_2$（$0<T_1<T_2$）まで準静的に変化させる。途中で凝縮は起こらないものとする。

この過程で気体が外部から吸収する熱 $Q$ を、$R$, $L$, $T_1$, $T_2$ を用いて求めよ（気体が熱を放出する場合は $Q<0$ とする）。