熱力学の問題

ある純物質の液体の飽和蒸気圧を測定したところ、温度 $300\mathrm{K}$ で $P_1$、温度 $320\mathrm{K}$ で $2P_1$ であった。

この温度範囲での、この物質の 1 mol あたりの蒸発熱（モル蒸発熱）$L$ を、単位 $J/mol$ で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、蒸発熱はこの温度範囲で一定とし、蒸気は理想気体とみなし、液体のモル体積は蒸気のモル体積に比べて無視できるものとする。気体定数を $R=8.31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、$\log 2=0.693$ とする。

ある純物質の液相と気相が共存する温度範囲を考える。この範囲で、気相は理想気体とみなせ、その定圧モル比熱は $C_P=4R$（$R$ は気体定数）で温度によらない。また、1 mol あたりの蒸発熱（気化熱）は $L$（$L>0$、温度によらない定数）であり、液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視できるものとする。

この物質の気相（液相は含まない）1 mol を、つねにその温度での飽和蒸気（圧力がその温度の飽和蒸気圧に等しい状態）のまま、温度 $T_1$ から温度 $T_2$（$0<T_1<T_2$）まで準静的に変化させる。途中で凝縮は起こらないものとする。

この過程で気体が外部から吸収する熱 $Q$ を、$R$, $L$, $T_1$, $T_2$ を用いて求めよ（気体が熱を放出する場合は $Q<0$ とする）。

圧力 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ のもとで、氷の融点は $T_0=273.15\mathrm{K}$ である。この温度付近で、水のモル質量を $18.0g/mol$、氷の密度を $0.917g/c{\mathrm{m}}^3$、液体の水の密度を $1.000g/c{\mathrm{m}}^3$、氷の融解熱を $6.01kJ/mol$ とする。

氷と水の共存曲線（融解曲線）の傾き $\frac{dP}{dT}$ は、考える範囲で一定とみなせるとし、その値は温度 $T_0$ におけるクラウジウス・クラペイロンの式で計算する。また、密度と融解熱は圧力・温度によらないとする。

氷の融点を $T_0$ より $2.00\mathrm{K}$ 低くするには、圧力を $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ からどれだけ増やせばよいか。圧力の増加分を $\mathrm{MPa}$ 単位で、有効数字 2 桁で求めよ。

ある純物質の固相と気相の共存曲線（昇華曲線）は、三重点の温度 $T_{\mathrm{t}}$ 以下の温度範囲で
$$\log \frac{P}{P_0}=a-\frac{b}{T}$$
と表される。ここで $P$ は飽和蒸気圧、$T$ は絶対温度、$P_0$ は圧力の基準値（正の定数）、$a$ は定数、$b$ は正の定数である。三重点における 1 mol あたりの融解熱は $L_{\mathrm{f}}$（$0<L_{\mathrm{f}}<Rb$）である。$R$ は気体定数である。

次の仮定をおく。
- 気相は理想気体とみなせる。
- 固相・液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視できる。
- 1 mol あたりの蒸発熱（液相 $\to$ 気相）は、三重点以上の考える温度範囲で温度によらない一定値である。

このとき、温度 $T$（$T>T_{\mathrm{t}}$）における液相の飽和蒸気圧 $P$ を、$P_0,a,b,L_{\mathrm{f}},R,T_{\mathrm{t}},T$ を用いて表せ。

ある純物質の液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、考える温度範囲で
$$\log \frac{P}{P_{\ast }}=-\frac{B}{T}-k\log \frac{T}{T_{\ast }}$$
で表されるとする。ここで $P$ は飽和蒸気圧、$T$ は絶対温度、$P_{\ast },T_{\ast },B,k$ は正の定数である。次の近似を用いる。
- 気相は理想気体とみなし、その定圧モル比熱は $C_P^{\mathrm{g}}=4R$（$R$ は気体定数）で温度・圧力によらない
- 液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視できる

蒸気圧曲線に沿って（つねに飽和状態を保ちながら）気相 1 mol の温度を準静的に変えるとき、気相が吸収する熱を $\delta Q$ として、飽和蒸気のモル比熱を $C_{\sigma }=\frac{\delta Q}{dT}$ と定義する。$C_{\sigma }=0$ となる温度 $T$ を、$B$ と $k$ を用いて求めよ。ただし、その温度は上の式が成り立つ範囲にあるものとする。