熱力学の問題

ある純物質の三重点の近くで、固相と気相が共存する曲線（昇華曲線）と、液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、それぞれ次の式で表されるとする。
$$\log \frac{P}{P_0}=a_{\mathrm{s}}-\frac{b_{\mathrm{s}}}{T}(\text{昇華曲線}),\log \frac{P}{P_0}=a_{\mathrm{l}}-\frac{b_{\mathrm{l}}}{T}(\text{蒸気圧曲線})$$
ここで $P$ は共存する圧力、$T$ は絶対温度、$P_0$ は基準の圧力（正の定数）である。$a_{\mathrm{s}},a_{\mathrm{l}},b_{\mathrm{s}},b_{\mathrm{l}}$ は定数で、$a_{\mathrm{s}}>a_{\mathrm{l}}$、$b_{\mathrm{s}}>b_{\mathrm{l}}>0$ を満たす。

この物質のモル質量を $M$、三重点における固相の密度を ${\rho }_{\mathrm{s}}$、液相の密度を ${\rho }_{\mathrm{l}}$（${\rho }_{\mathrm{s}}>{\rho }_{\mathrm{l}}>0$）、気体定数を $R$ とする。気相は理想気体とみなし、気相のモル体積に比べて固相・液相のモル体積は無視できるものとする（昇華曲線・蒸気圧曲線を扱うときのみ）。また、三重点の近くで昇華熱と蒸発熱は温度によらないとする。

このとき、三重点における固相と液相が共存する曲線（融解曲線）の傾き $\frac{dP}{dT}$ を、$a_{\mathrm{s}},a_{\mathrm{l}},M,{\rho }_{\mathrm{s}},{\rho }_{\mathrm{l}},R$ を用いて表せ（SI 単位系で考える）。

ある純物質の液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、考える温度範囲で
$$\log \frac{P}{P_{\ast }}=-\frac{B}{T}-k\log \frac{T}{T_{\ast }}$$
で表されるとする。ここで $P$ は飽和蒸気圧、$T$ は絶対温度、$P_{\ast },T_{\ast },B,k$ は正の定数である。次の近似を用いる。
- 気相は理想気体とみなし、その定圧モル比熱は $C_P^{\mathrm{g}}=4R$（$R$ は気体定数）で温度・圧力によらない
- 液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視できる

蒸気圧曲線に沿って（つねに飽和状態を保ちながら）気相 1 mol の温度を準静的に変えるとき、気相が吸収する熱を $\delta Q$ として、飽和蒸気のモル比熱を $C_{\sigma }=\frac{\delta Q}{dT}$ と定義する。$C_{\sigma }=0$ となる温度 $T$ を、$B$ と $k$ を用いて求めよ。ただし、その温度は上の式が成り立つ範囲にあるものとする。

ある純物質の固相と気相が共存する曲線（昇華曲線）と、液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、三重点の近くでそれぞれ
$$\log \frac{P}{P_{\ast }}=\alpha -\frac{\beta }{T}(\text{昇華曲線}),\log \frac{P}{P_{\ast }}=\gamma -\frac{\delta }{T}(\text{蒸気圧曲線})$$
で表されることが測定からわかっている。ここで $P$ は圧力、$T$ は絶対温度、$P_{\ast }$ は圧力の単位となる正の定数、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ は $\alpha >\gamma$, $\beta >\delta >0$ を満たす定数である。

三重点での固相と液相のモル体積をそれぞれ $v_{\mathrm{s}}$, $v_{\mathrm{l}}$（$v_{\mathrm{l}}>v_{\mathrm{s}}>0$）とする。三重点における融解曲線（固相と液相の共存曲線）の傾き $\frac{dP}{dT}$ を、$R$（気体定数）, $\alpha$, $\gamma$, $v_{\mathrm{s}}$, $v_{\mathrm{l}}$ のうち必要なものを用いて求めよ。

ただし、昇華曲線・蒸気圧曲線にクラウジウス・クラペイロンの式を使うときは、固相・液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視でき、気相は理想気体とみなせるものとする。

ある液体の蒸気圧 $P$ が、ある温度範囲で絶対温度 $T$ の関数として
$$\log \frac{P}{P_0}=a-\frac{B}{T}$$
と表されることが測定からわかった。ここで $P_0$ は圧力の単位をそろえるための定数、$a$ は定数、$B=5000\mathrm{K}$ である。この温度範囲で、蒸発のモル潜熱 $L$ は一定とみなし、蒸気は理想気体、液体のモル体積は蒸気のモル体積に比べて無視できるものとする。気体定数を $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ として、$L$ は何 J/mol か。整数で求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

ある純物質の液体の飽和蒸気圧を測定したところ、温度 $300\mathrm{K}$ で $P_1$、温度 $320\mathrm{K}$ で $2P_1$ であった。

この温度範囲での、この物質の 1 mol あたりの蒸発熱（モル蒸発熱）$L$ を、単位 $J/mol$ で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、蒸発熱はこの温度範囲で一定とし、蒸気は理想気体とみなし、液体のモル体積は蒸気のモル体積に比べて無視できるものとする。気体定数を $R=8.31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、$\log 2=0.693$ とする。