動くピストンと分子運動論

ゆっくり動くピストンと分子の衝突で分子の速さが変わることを相対速度で調べ、単位時間あたりの気体分子の運動エネルギーの変化を求めて、それが気体のした仕事 $pS u$ に等しいことを確かめられる

前提

気体分子運動論（高校物理熱と気体）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）

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算数中学高校大学大学院

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仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）

説明

ピストンが気体の分子に比べてゆっくり動くとき、ピストンに当たってはね返った分子の速さがどう変わるかを、ピストンに対する相対速度を使って求められるようになります。その結果から、単位時間あたりに気体分子全体の運動エネルギーがどれだけ変化するかを計算できます。さらに、その変化が気体のした仕事 $pS u$ と一致することを分子の立場から確かめられます。断熱膨張で気体が冷える理由や、圧縮すると温まる理由を、分子の運動で説明するときに使います。

なぜそうしてよいのか

静止した壁に分子が弾性衝突すると、壁に垂直な速度成分は向きが逆になるだけで、大きさは変わりません。ピストンが速さ $u$ で動いているときは、ピストンと一緒に動く人から見ればピストンは静止した壁です。そこで、まずピストンから見た分子の速度（相対速度）で考えます。ピストンが外向き（ $x$ 軸の正の向き）に速さ $u$ で動き、分子の $x$ 成分が $v_{x} (> 0)$ のとき、ピストンから見た分子の速度は $v_{x} - u$ です。弾性衝突なので、はね返った後は $- (v_{x} - u)$ になります。これに $u$ を足して地面から見た速度に戻すと、 $- (v_{x} - u) + u = - (v_{x} - 2 u)$ です。 $u ≪ v_{x}$ なので、速さは $v_{x}$ から $v_{x} - 2 u$ へ少し減ります。逃げていく壁に当たると、ボールの勢いが弱まるのと同じです。 $y, z$ 成分は変わらないので、運動エネルギーの変化は $Δ K = \frac{1}{2} m (v_{x} - 2 u)^{2} - \frac{1}{2} m v_{x}^{2} = - 2 m u v_{x} + 2 m u^{2}$ です。 $u$ が十分小さいので $2 m u^{2}$ は $2 m u v_{x}$ に比べて無視でき、 $Δ K \approx - 2 m u v_{x}$ となります。

シリンダーの断面積を $S$ 、底からピストンまでの長さを $L$ とします。分子は底とピストンの間を往復するので、ピストンに当たる時間間隔は約 $\frac{2 L}{v _{x}}$ です。したがって単位時間の衝突回数は $\frac{v _{x}}{2 L}$ です（ピストンはゆっくり動くので、短い時間なら $L$ は一定とみなせます）。1 個の分子が単位時間に失う運動エネルギーは $2 m u v_{x} \times \frac{v _{x}}{2 L} = \frac{m u v _{x}^{2}}{L}$ です。これを $N$ 個について足し、 $v_{x}^{2}$ の平均を $v_{x}^{2}$ と書くと、減少量は $\frac{N m u v _{x}^{2}}{L}$ になります。

気体分子運動論より $p V = \frac{1}{3} N m v^{2}$ です。どの向きにも分子は同じように動くので $v_{x}^{2} = \frac{1}{3} v^{2}$ となり、 $p = \frac{N m v _{x}^{2}}{S L}$ と書けます。よって減少量は $\frac{N m v _{x}^{2}}{S L} \cdot S u = pS u$ です。一方、気体はピストンを力 $pS$ で押しながら、単位時間に距離 $u$ だけ動かします。つまり単位時間あたり $pS u$ の仕事をしています（ $W = p Δ V$ で $Δ V = S u$ ）。分子が失った運動エネルギーは、ちょうど気体がピストンにした仕事になっているのです。

手順

向きを決める：ピストンが動く向きを $x$ 軸の正とし、ピストンの速度を $u$ （外向きなら $u > 0$ ）、ピストンへ向かう分子の速度の $x$ 成分を $v_{x} (> 0)$ とする。
相対速度ではね返り後の速度を求める：ピストンから見た速度 $v_{x} - u$ が弾性衝突で $- (v_{x} - u)$ になる。これに $u$ を足して地面から見た速度 $- (v_{x} - 2 u)$ にする。
1 回の衝突での運動エネルギー変化を求める： $Δ K = \frac{1}{2} m (v_{x} - 2 u)^{2} - \frac{1}{2} m v_{x}^{2} = - 2 m u v_{x} + 2 m u^{2} \approx - 2 m u v_{x}$ （ $u ≪ v_{x}$ なので $u^{2}$ の項は無視する）。
単位時間の衝突回数を求める：底とピストンの間（長さ $L$ ）を往復するので、回数は $\frac{v _{x}}{2 L}$ 回。
掛けて全分子で足し合わせる：単位時間の減少量は $\frac{m u v _{x}^{2}}{L}$ を $N$ 個分足して $\frac{N m u v _{x}^{2}}{L}$ 。ただし $v_{x}^{2} = \frac{1}{3} v^{2}$ 。
圧力で書き換えて仕事と比べる： $p = \frac{N m v _{x}^{2}}{S L}$ を使うと減少量は $pS u$ となり、気体が単位時間にする仕事 $pS \times u$ と等しいことを確かめる。

例題

断面積 $S = 1.0 \times 1 0^{- 2} m^{2}$ のシリンダーに、なめらかに動くピストンがついている。底からピストンまでの長さは $L = 0.20 m$ で、中に質量 $m = 5.0 \times 1 0^{- 26} kg$ の気体分子が $N = 1.0 \times 1 0^{23}$ 個入っている。分子の速度の $x$ 成分（ $x$ 軸はシリンダーの軸方向）の 2 乗の平均は $v_{x}^{2} = 1.6 \times 1 0^{5} m^{2} / s^{2}$ である。ピストンを外向きに一定の速さ $u = 0.10 m/s$ でゆっくり動かす。分子は底やピストンと弾性衝突し、分子どうしの衝突と重力は無視する。 $u$ は分子の速さに比べて十分小さいので、 $u^{2}$ を含む項は無視し、考える短い時間のあいだ $L$ は一定とみなしてよい。気体分子全体の運動エネルギーが単位時間あたりに減少する量は何 J/s か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：ピストンが動く外向きを $x$ 軸の正とする。ピストンの速度は $u = 0.10 m/s$ で、ピストンへ向かう分子の $x$ 成分を $v_{x} (> 0)$ とする。
手順2：ピストンから見た分子の速度は $v_{x} - u$ で、はね返り後は $- (v_{x} - u)$ になる。地面から見ると $- (v_{x} - u) + u = - (v_{x} - 2 u)$ なので、速さは $v_{x} - 2 u$ に減る。
手順3：1 回の衝突で運動エネルギーは $\frac{1}{2} m (v_{x} - 2 u)^{2} - \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \approx - 2 m u v_{x}$ だけ変化する。つまり $2 m u v_{x}$ だけ減る。
手順4：1 個の分子がピストンに当たる回数は、単位時間に $\frac{v _{x}}{2 L}$ 回である。
手順5：1 個の分子の単位時間の減少量は $2 m u v_{x} \cdot \frac{v _{x}}{2 L} = \frac{m u v _{x}^{2}}{L}$ である。 $N$ 個分を足すと
$\frac{N m u v _{x}^{2}}{L} = \frac{( 1.0 \times 1 0 ^{23} ) ( 5.0 \times 1 0 ^{- 26} ) ( 0.10 ) ( 1.6 \times 1 0 ^{5} )}{0.20} = \frac{80}{0.20} = 4.0 \times 1 0^{2} J/s$
手順6（確かめ）：圧力は $p = \frac{N m v _{x}^{2}}{S L} = \frac{( 5.0 \times 1 0 ^{- 3} ) ( 1.6 \times 1 0 ^{5} )}{( 1.0 \times 1 0 ^{- 2} ) ( 0.20 )} = 4.0 \times 1 0^{5} Pa$ である。気体が単位時間にする仕事は $pS u = (4.0 \times 1 0^{5}) (1.0 \times 1 0^{- 2}) (0.10) = 4.0 \times 1 0^{2} J/s$ となり、運動エネルギーの減少量と一致する。

答え: $4.0 \times 1 0^{2}$

よくある誤り

ピストンが動いていても、はね返り後の $x$ 成分の大きさを $v_{x}$ のままとしてしまう誤り。これでは運動エネルギーが変わらないことになる。正しくは相対速度で考え、地面から見たはね返り後の速度は $- (v_{x} - 2 u)$ で、速さは $v_{x} - 2 u$ になる。
ピストンから見たはね返り後の速度 $- (v_{x} - u)$ を、そのまま地面から見た速度としてしまう誤り（速さを $v_{x} - u$ とし、 $Δ K \approx - m u v_{x}$ と半分にしてしまう）。正しくはピストンの速度 $u$ を足して $- (v_{x} - u) + u = - (v_{x} - 2 u)$ とし、 $Δ K \approx - 2 m u v_{x}$ となる。
単位時間の衝突回数を $\frac{v _{x}}{L}$ としてしまう誤り。分子は底とピストンの間を往復してから再びピストンに当たるので、間隔は $\frac{2 L}{v _{x}}$ 、回数は $\frac{v _{x}}{2 L}$ である。
ピストンを押し込む場合（ピストンが気体に近づく向きに速さ $u$ ）にも、運動エネルギーが減るとしてしまう誤り。押し込むときは、ピストン速度を $- u$ として同じ計算をすると、はね返り後の速さは $v_{x} + 2 u$ になる。したがって運動エネルギーは単位時間に $pS u$ だけ増え、これは外部が気体にした仕事に等しい。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

動くピストンと分子運動論

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題