熱と気体の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理熱と気体

断面積 $S$ の円筒形のシリンダーが、中心軸を水平な $x$ 軸に平行にして置かれている。シリンダーの左端は閉じており、右側はピストンでふさがれている。中には質量 $m$ の単原子分子が $N$ 個入っている。シリンダーの閉じた端からピストンまでの距離を $L$ とし、すべての分子の運動エネルギーの和を $K$ とする。分子の運動の向きにはかたよりがなく、分子どうしの衝突と重力は無視する。

いま、ピストンを $x$ 軸の正の向き（シリンダーの外向き）に一定の小さな速さ $u$ で動かす。分子とピストンの衝突は、ピストンとともに動く観測者から見て弾性衝突であり、ピストンの速さ $u$ は分子の速さに比べて十分小さいので、 $u^{2}$ を含む項は無視できる。また、考える短い時間の間は $L$ と分子の速さの分布の変化は無視でき、分子の運動の向きのかたよりのなさは保たれるものとする。シリンダーの閉じた端やほかの内壁は動かず、分子はそれらと弾性衝突をする。

このとき、分子がピストンに衝突することによって、 $K$ が単位時間あたりに減少する量を、 $K$ , $u$ , $L$ を用いて表せ。

u

v_{x}

分子

m

L

ピストンは外向きに速さ

u

で動く

この問題で使うもの

動くピストンと分子運動論（説明と入口の問題）
気体分子運動論（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

まず 1 個の分子について、ピストンと 1 回衝突したときの運動エネルギーの減少量と、単位時間あたりの衝突回数を求めよう。衝突はピストンとともに動く観測者から見て考える。

ヒント 2

ピストンから見ると分子は速さ $v_{x} - u$ で近づき、同じ速さではね返る。静止しているシリンダーから見たはね返り後の速度の $x$ 成分は $- (v_{x} - 2 u)$ 。衝突回数は単位時間に $\frac{v _{x}}{2 L}$ 回。

ヒント 3

1 個の分子では単位時間に $2 m u v_{x} \times \frac{v _{x}}{2 L} = \frac{m u v _{x}^{2}}{L}$ 減る。 $N$ 個で和をとり、 $v_{x}^{2} = \frac{1}{3} v^{2}$ と $K = \frac{1}{2} N m v^{2}$ を使って $K$ で表す。

答えと解説

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\frac{2 K u}{3 L}

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解説を読む

1 回の衝突での運動エネルギーの変化

ある分子の速度の $x$ 成分の大きさを $v_{x} (> 0)$ とし、ピストンに向かって進んでいるとする。ピストンとともに動く観測者から見ると、分子はピストンに速さ $v_{x} - u$ で近づき、弾性衝突なので速さ $v_{x} - u$ ではね返る。静止しているシリンダーに対する速度の $x$ 成分は
$- (v_{x} - u) + u = - (v_{x} - 2 u)$
となる。 $y$ , $z$ 成分は変わらないので、運動エネルギーの変化は
$\frac{1}{2} m (v_{x} - 2 u)^{2} - \frac{1}{2} m v_{x}^{2} = - 2 m u v_{x} + 2 m u^{2} ≒ - 2 m u v_{x}$
（ $u^{2}$ の項は無視する）。つまり 1 回の衝突で運動エネルギーは $2 m u v_{x}$ だけ減少する。

単位時間あたりの衝突回数

分子はシリンダーの閉じた端とピストンの間（距離 $L$ ）を $x$ 方向に往復し、往復の距離は $2 L$ である。 $u$ は $v_{x}$ に比べて十分小さく、短い時間の間は $L$ も変わらないとみなせるので、単位時間あたりのピストンへの衝突回数は $\frac{v _{x}}{2 L}$ 回である。

1 個の分子による減少量

$2 m u v_{x} \times \frac{v _{x}}{2 L} = \frac{m u v _{x}^{2}}{L}$

$N$ 個の分子による減少量

$v_{x}^{2}$ の平均を $v_{x}^{2}$ とすると、全体の減少量は
$\frac{N m u v _{x}^{2}}{L}$
分子の運動の向きにかたよりがないので、速さの 2 乗の平均を $v^{2}$ として $v_{x}^{2} = v_{y}^{2} = v_{z}^{2} = \frac{1}{3} v^{2}$ 。また $K = \frac{1}{2} N m v^{2}$ より $N m v^{2} = 2 K$ である。よって
$\frac{N m u v _{x}^{2}}{L} = \frac{N m u}{L} \cdot \frac{v ^{2}}{3} = \frac{u}{3 L} \cdot 2 K = \frac{2 K u}{3 L}$

（確認: 気体の圧力 $p = \frac{N m v ^{2}}{3 S L} = \frac{2 K}{3 S L}$ を使うと、気体が単位時間にピストンにする仕事は $pS u = \frac{2 K u}{3 L}$ で、断熱膨張で気体がした仕事の分だけ内部エネルギーが減ることと一致する。）

別解

ピストンの速さ $u$ は分子の速さに比べて十分小さいとして、 $u$ の 1 次まで考える。

【1 回の衝突】ある分子の $x$ 方向の速さを $∣ v_{x} ∣$ とする。ピストンは $x$ の正の向きに速さ $u$ で遠ざかっている。ピストンとともに動く観測者から見ると、分子は近づく速さ $∣ v_{x} ∣ + u$ で衝突し、弾性衝突なので同じ速さではね返る。もとの静止系にもどすと、はね返ったあとの $x$ 方向の速さは $∣ v_{x} ∣ - 2 u$ である（向きは左向き）。
運動エネルギーの変化は
$Δ ε = \frac{1}{2} m {(∣ v_{x} ∣ - 2 u)^{2} - v_{x}^{2}} = - 2 m u ∣ v_{x} ∣ + 2 m u^{2} \approx - 2 m u ∣ v_{x} ∣$
（ $u^{2}$ の項は無視）。

【単位時間あたりの衝突回数】分子はピストンと閉じた端のあいだを往復する。1 往復で動く距離は約 $2 L$ で、ピストンに衝突する間隔は $2 L /∣ v_{x} ∣$ である（ピストンの動きによる補正は $u$ の 1 次の補正で、 $Δ ε$ との積では $u^{2}$ の項になり無視できる）。したがって単位時間あたりの衝突回数は $\frac{∣ v _{x} ∣}{2 L}$ 。

【1 個の分子の減少率】
$- \frac{d ε}{d t} = 2 m u ∣ v_{x} ∣ \cdot \frac{∣ v _{x} ∣}{2 L} = \frac{m u v _{x}^{2}}{L}$

【全分子の和】 $N$ 個の分子について足す。
$- \frac{d K}{d t} = \frac{u}{L} \sum m v_{x}^{2}$
運動の向きにかたよりがないので、 $\sum v_{x}^{2} = \sum v_{y}^{2} = \sum v_{z}^{2} = \frac{1}{3} \sum v^{2}$ である。 $K = \sum \frac{1}{2} m v^{2}$ より $\sum m v^{2} = 2 K$ だから
$\sum m v_{x}^{2} = \frac{2 K}{3}$
よって
$- \frac{d K}{d t} = \frac{2 K u}{3 L}$

【検算】 $d L / d t = u$ なので $\frac{d K}{K} = - \frac{2}{3} \frac{d L}{L}$ 、すなわち $K \propto L^{- 2/3}$ 、 $K L^{2/3} =$ 一定。これは単原子分子理想気体の断熱変化 $T V^{2/3} =$ 一定（ $T \propto K$ 、 $V \propto L$ ）と一致する。

したがって、 $K$ が単位時間あたりに減少する量は $\frac{2 K u}{3 L}$ 。

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