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熱と気体の問題

難易度 3共通テストレベル高校物理熱と気体

半径 $r$ の球形の容器の中に、質量 $m$ の単原子分子が $N$ 個入っている。分子はどれも同じ速さ $v$ で運動し、容器の内壁と弾性衝突をくり返す。分子どうしの衝突と重力は無視する。

ある 1 個の分子に注目すると、この分子は壁に衝突するたびに、衝突点と球の中心を結ぶ直線に対して入射角と同じ角度ではね返る。そのため、この分子が壁に衝突するときの、速度と「衝突点と中心を結ぶ直線」とのなす角は、つねに同じ値 $θ$ （ $0 ≦ θ < \frac{π}{2}$ ）である。 $θ$ の値は分子ごとに異なってよい。

$N$ 個の分子が容器の内壁に及ぼす力の時間平均が内壁の全面に一様にはたらくものとして、容器内の気体の圧力 $p$ を、 $N$ , $m$ , $v$ , $r$ を用いて表せ。

O

r

分子

θ

1 個の分子の運動のようす（

θ

の一例）

この問題で使うもの

気体分子運動論（説明と入口の問題）
運動量と力積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

1 個の分子について、1 回の衝突で壁が受ける力積と、単位時間あたりの衝突回数を求め、その積から平均の力を求めよう。

ヒント 2

壁に垂直な速度成分は $v cos θ$ なので、1 回の衝突で壁が受ける力積は $2 m v cos θ$ 。衝突から次の衝突までに分子が進む弦の長さは $2 r cos θ$ である。

ヒント 3

1 個の分子が壁に及ぼす平均の力は $2 m v cos θ \times \frac{v}{2 r cos θ}$ となり、 $θ$ が消える。これを $N$ 倍して内壁の面積で割る。

答えと解説

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\frac{N m v ^{2}}{4 π r ^{3}}

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1 回の衝突で壁が受ける力積

衝突点で、速度を「衝突点と中心を結ぶ方向（壁に垂直な方向）」の成分と、壁に平行な成分に分ける。壁に垂直な成分の大きさは $v cos θ$ で、弾性衝突なので衝突の前後でこの成分の向きだけが逆になり、壁に平行な成分は変わらない。よって、分子の運動量の変化の大きさは $2 m v cos θ$ で、作用・反作用の法則により、壁は 1 回の衝突で中心から外向きに大きさ $2 m v cos θ$ の力積を受ける。

衝突と衝突の間の時間

分子は衝突と衝突の間、球の弦の上を等速直線運動する。弦の両端は球面上にあり、弦と半径のなす角が $θ$ なので、中心から弦に垂線をおろして考えると弦の長さは $2 r cos θ$ である。よって、衝突の間隔は $\frac{2 r cos θ}{v}$ で、単位時間あたりの衝突回数は $\frac{v}{2 r cos θ}$ 回である。

1 個の分子が壁に及ぼす平均の力

単位時間に壁が受ける力積の大きさの合計が、平均の力の大きさ（壁に垂直な成分の和）になるので
$f = 2 m v cos θ \times \frac{v}{2 r cos θ} = \frac{m v ^{2}}{r}$
これは $θ$ によらない。

圧力

$N$ 個の分子が壁に及ぼす力の大きさ（壁に垂直な成分）の合計は $\frac{N m v ^{2}}{r}$ で、これが内壁の面積 $4 π r^{2}$ に一様にはたらくので
$p = \frac{N m v ^{2}}{r} \cdot \frac{1}{4 π r ^{2}} = \frac{N m v ^{2}}{4 π r ^{3}}$

（容器の体積 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ を使うと $p = \frac{N m v ^{2}}{3 V}$ となり、立方体の容器で求めた式と一致する。）

別解

1 個の分子に注目する。壁との衝突点と中心を結ぶ直線（法線）と速度のなす角が $θ$ なので、弦の長さは $2 r cos θ$ （球の中心から弦までの距離は $r sin θ$ で、弦の半分は $r cos θ$ ）。隣り合う衝突の間に進む距離は $2 r cos θ$ なので、衝突の時間間隔は $Δ t = \frac{2 r cos θ}{v}$ 。

1 回の衝突で、法線方向の速度成分 $v cos θ$ が逆向きになる（接線方向成分は変わらない）。分子が受ける力積の大きさは $2 m v cos θ$ なので、壁が分子から受ける力の時間平均（壁が分子から受ける力と分子が壁に及ぼす力は大きさが等しい）は
$f ˉ = \frac{2 m v cos θ}{Δ t} = \frac{2 m v cos θ \cdot v}{2 r cos θ} = \frac{m v ^{2}}{r}$ 。
$θ$ が消えるので、分子ごとに $θ$ が違っても各分子が壁に及ぼす力の時間平均は $\frac{m v ^{2}}{r}$ で同じ。

$N$ 個では合計 $F = \frac{N m v ^{2}}{r}$ 。これが表面積 $4 π r^{2}$ の内壁に一様にはたらくので
$p = \frac{F}{4 π r ^{2}} = \frac{N m v ^{2}}{4 π r ^{3}}$ 。

検算: 気体分子運動論の $p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m v^{2}$ に $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ を代入すると $\frac{N m v ^{2}}{3 \cdot \frac{4}{3} π r ^{3}} = \frac{N m v ^{2}}{4 π r ^{3}}$ で一致する。

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