オットーサイクル・ディーゼルサイクルの熱効率

空気標準サイクルの熱効率を圧縮比 $ε$ ・締切比 $σ$ ・比熱比 $κ$ で表し（例: $η_{Otto} = 1 - ε^{1 - κ}$ , $η_{Diesel} = 1 - \frac{1}{ε ^{κ - 1}} \frac{σ ^{κ} - 1}{κ ( σ - 1 )}$ ）、数値を求められる

前提

熱機関のサイクルと熱効率（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）

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算数中学高校大学大学院

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熱機関のサイクルと熱効率（高校物理熱と気体）
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説明

ガソリンエンジンとディーゼルエンジンの動きを、作動流体を理想気体（空気）とみなした理想的なサイクルに置きかえたものが、オットーサイクルとディーゼルサイクルです（空気標準サイクル）。この技能では、それぞれの熱効率を、圧縮比 $ε$ （圧縮前と後の体積比）、締切比 $σ$ （ディーゼルサイクルで燃焼による膨張の前後の体積比）、比熱比 $κ = C_{p} / C_{V}$ だけで表し、数値を求めます。圧縮比を上げると効率が上がる理由や、同じ圧縮比ならオットーサイクルの方が効率が高い理由もこの式から読み取れます。

なぜそうしてよいのか

まず道具として、理想気体の断熱変化で $T V^{κ - 1}$ が一定になることを使います。断熱変化では $Q = 0$ なので気体がした仕事の分だけ内部エネルギーが減り（ $Δ U = - W$ ）、膨張すると温度が下がり、圧縮すると温度が上がります。この関係を体積の小さな変化ごとに積み重ねると（微分・積分を使う計算になるので、ここでは結果だけを公式として使います）、理想気体の断熱変化では $p V^{κ} =$ 一定が成り立ちます（ポアソンの法則）。これに状態方程式 $p = \frac{n R T}{V}$ を代入すると $p V^{κ} = n R T V^{κ - 1}$ なので、 $n R$ が一定であることから $T V^{κ - 1} =$ 一定が得られます。したがって断熱変化で体積が $V_{a}$ から $V_{b}$ になると $T_{a} V_{a}^{κ - 1} = T_{b} V_{b}^{κ - 1}$ 、すなわち $T_{b} = T_{a} (\frac{V _{a}}{V _{b}})^{κ - 1}$ です。

【オットーサイクル】1→2 断熱圧縮（体積 $V_{1} \to V_{2}$ 、 $ε = V_{1} / V_{2}$ ）、2→3 定積加熱、3→4 断熱膨張（ $V_{2} \to V_{1}$ ）、4→1 定積放熱、の 4 過程からなります。熱を吸収するのは 2→3 だけで $Q_{in} = n C_{V} (T_{3} - T_{2})$ 、放出するのは 4→1 だけで $Q_{out} = n C_{V} (T_{4} - T_{1})$ です。1 サイクルで内部エネルギーはもとに戻るので、正味の仕事は $W = Q_{in} - Q_{out}$ 、熱効率は $η = \frac{W}{Q _{in}} = 1 - \frac{Q _{out}}{Q _{in}}$ です。断熱変化の関係から $T_{2} = ε^{κ - 1} T_{1}$ 、 $T_{3} = ε^{κ - 1} T_{4}$ なので $T_{3} - T_{2} = ε^{κ - 1} (T_{4} - T_{1})$ となり、
$η_{Otto} = 1 - \frac{T _{4} - T _{1}}{T _{3} - T _{2}} = 1 - \frac{1}{ε ^{κ - 1}} = 1 - ε^{1 - κ}$
です。加熱量や温度によらず、圧縮比と比熱比だけで決まり、 $κ > 1$ なので圧縮比 $ε$ が大きいほど効率が高くなります。

【ディーゼルサイクル】2→3 の加熱が定圧で行われ、体積が $V_{2}$ から $V_{3} = σ V_{2}$ に増える点だけが違います。吸熱は $Q_{in} = n C_{p} (T_{3} - T_{2}) = κn C_{V} (T_{3} - T_{2})$ 、放熱は同じく $Q_{out} = n C_{V} (T_{4} - T_{1})$ です。 $T_{2} = ε^{κ - 1} T_{1}$ 、定圧なのでシャルルの法則から $T_{3} = σ T_{2} = σ ε^{κ - 1} T_{1}$ 、3→4 の断熱膨張（ $V_{3} = \frac{σ}{ε} V_{1} \to V_{1}$ ）から $T_{4} = T_{3} (\frac{σ}{ε})^{κ - 1} = σ^{κ} T_{1}$ 。これらを代入すると
$η_{Diesel} = 1 - \frac{T _{4} - T _{1}}{κ ( T _{3} - T _{2} )} = 1 - \frac{1}{ε ^{κ - 1}} \cdot \frac{σ ^{κ} - 1}{κ ( σ - 1 )}$
です（ $σ > 1$ ）。オットーサイクルの式と比べると、因子 $\frac{σ ^{κ} - 1}{κ ( σ - 1 )}$ だけが余分にかかっています。例えば $κ = 1.4$ のとき、 $σ = 2$ なら $\frac{2 ^{1.4} - 1}{1.4 \times 1} \approx \frac{2.639 - 1}{1.4} \approx 1.17$ 、 $σ = 3$ なら $\frac{3 ^{1.4} - 1}{1.4 \times 2} \approx \frac{4.656 - 1}{2.8} \approx 1.31$ と $1$ より大きく、引かれる量が大きくなるので、同じ圧縮比ならディーゼルサイクルの効率はオットーサイクルより低くなります。

手順

サイクルの種類を確かめる（加熱が定積ならオットー、定圧ならディーゼル）。
圧縮比 $ε = \frac{V _{m a x}}{V _{m i n}}$ （圧縮前の最大体積と圧縮後の最小体積の比）と、ディーゼルなら締切比 $σ = \frac{V _{3}}{V _{2}}$ （定圧加熱の終わりと始めの体積比）を求める。
$ε^{κ - 1}$ を計算する（ $κ - 1$ 乗であって $κ$ 乗ではない）。
オットーなら $η = 1 - \frac{1}{ε ^{κ - 1}}$ 、ディーゼルならさらに $\frac{σ ^{κ} - 1}{κ ( σ - 1 )}$ を計算して $η = 1 - \frac{1}{ε ^{κ - 1}} \cdot \frac{σ ^{κ} - 1}{κ ( σ - 1 )}$ に代入する。
指定の桁数に丸める。仕事が必要なら $W = η Q_{in}$ を使う。

例題

圧縮比 $8$ のオットーサイクル（空気標準サイクル）を考える。作動流体は比熱比 $κ = 1.4$ の理想気体とする。このサイクルの理論熱効率を有効数字 3 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: 加熱が定積で行われるオットーサイクルなので、 $η = 1 - \frac{1}{ε ^{κ - 1}}$ を使う。

手順 2: 圧縮比は $ε = 8$ （オットーサイクルなので締切比は不要）。

手順 3: $ε^{κ - 1} = 8^{0.4} = (2^{3})^{0.4} = 2^{1.2} \approx 2.2974$ 。

手順 4: $η = 1 - \frac{1}{2.2974} \approx 1 - 0.43528 = 0.56472$ 。

手順 5: 有効数字 3 桁に丸めて $η = 0.565$ 。

答え: $0.565$

よくある誤り

指数を $κ$ にして $η = 1 - ε^{- κ}$ としてしまう誤り。断熱変化で一定になるのは $T V^{κ - 1}$ なので、正しくは $η = 1 - ε^{1 - κ}$ （例題で $1 - 8^{- 1.4} \approx 0.95$ は誤り）。
ディーゼルサイクルの吸熱を定積比熱で $Q_{in} = n C_{V} (T_{3} - T_{2})$ としてしまう誤り。加熱は定圧なので $Q_{in} = n C_{p} (T_{3} - T_{2}) = κn C_{V} (T_{3} - T_{2})$ で、効率の式の分母に $κ$ が入る: $η = 1 - \frac{1}{ε ^{κ - 1}} \frac{σ ^{κ} - 1}{κ ( σ - 1 )}$ 。
圧縮比を圧力の比 $\frac{p _{2}}{p _{1}}$ としてしまう誤り。圧縮比は体積の比 $ε = \frac{V _{1}}{V _{2}}$ で、断熱圧縮では $p V^{κ} =$ 一定から $\frac{p _{2}}{p _{1}} = ε^{κ}$ となり一致しない。
締切比を圧縮比と同じく最大体積に対する比 $\frac{V _{1}}{V _{3}}$ としてしまう誤り。正しくは定圧加熱の終わりと始めの体積比 $σ = \frac{V _{3}}{V _{2}} (> 1)$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
作動流体を空気とする空気標準オットーサイクル（断熱圧縮 → 定積加熱 → 断熱膨張 → 定積放熱）がある。圧縮比は $ε = 10$ 、空気の比熱比は $κ = 1.4$ である。このサイクルの理論熱効率を求めよ。答えは小数で、有効数字 3 桁で答えよ。ただし、空気は比熱が一定の理想気体とみなし、各過程は可逆とする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ブレイトンサイクルと再生（大学物理熱工学・伝熱）