ブレイトンサイクルと再生

等圧加熱・等エントロピー変化からなるブレイトンサイクルの熱効率 $η = 1 - \frac{T _{1}}{T _{2}}$ を求め、再生器の温度効率 $T_{2^{'}} = T_{2} + ε (T_{4} - T_{2})$ を与えたときの熱効率を各状態の温度から $η = \frac{( T _{3} - T _{4} ) - ( T _{2} - T _{1} )}{T _{3} - T _{2^{'}}}$ として求められる

前提

オットーサイクル・ディーゼルサイクルの熱効率（大学物理熱工学・伝熱）
定常流動系のエネルギー式（大学物理熱工学・伝熱）

この技能までの道筋（56 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体分子運動論（高校物理熱と気体）
理想気体の内部エネルギー（高校物理熱と気体）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）
熱力学第一法則（高校物理熱と気体）
定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
熱機関のサイクルと熱効率（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
オットーサイクル・ディーゼルサイクルの熱効率（大学物理熱工学・伝熱）
定常流動系のエネルギー式（大学物理熱工学・伝熱）

説明

ブレイトンサイクルは、ガスタービン（発電用ガスタービンやジェットエンジン）の理想的なサイクルで、圧縮機で空気を圧縮し、燃焼器で一定圧力のもとで加熱し、タービンで膨張させて仕事を取り出し、一定圧力のもとで放熱して元に戻ります。この技能では、その熱効率が圧縮前後の温度だけで $η = 1 - \frac{T _{1}}{T _{2}}$ と表せることを使います。さらに、タービンから出る高温の排気で圧縮後の空気をあらかじめ温める再生器を付けたとき、その温度効率から加熱前の温度を求め、熱効率がどれだけ上がるかを計算します。

なぜそうしてよいのか

作動流体は定圧比熱 $c_{p}$ と比熱比 $κ$ が一定の理想気体とし、各機器は定常流動系として扱います（運動エネルギーと位置エネルギーの変化は無視）。理想気体の比エンタルピーは $h = c_{p} T$ （の差）で表せるので、定常流動系のエネルギー式 $q - w = h_{2} - h_{1}$ から、流体 1 kg あたり、圧縮機（1→2、断熱）に加える仕事は $c_{p} (T_{2} - T_{1})$ 、燃焼器（2→3、定圧で $w = 0$ ）で受け取る熱は $q_{in} = c_{p} (T_{3} - T_{2})$ 、タービン（3→4、断熱）が取り出す仕事は $c_{p} (T_{3} - T_{4})$ 、冷却器（4→1、定圧）で捨てる熱は $q_{out} = c_{p} (T_{4} - T_{1})$ です。正味の仕事は $w_{net} = c_{p} {(T_{3} - T_{4}) - (T_{2} - T_{1})} = q_{in} - q_{out}$ 、熱効率は $η = \frac{w _{net}}{q _{in}}$ です。

圧縮と膨張は、損失のない理想的な断熱変化（可逆断熱変化、等エントロピー変化ともいう）とします。このとき $T V^{κ - 1}$ が一定で、状態方程式から $V \propto T / p$ なので $T^{κ} p^{1 - κ}$ が一定、すなわち $T \propto p^{(κ - 1) / κ}$ です。圧縮機とタービンは同じ 2 つの圧力（低圧 $p_{1}$ と高圧 $p_{2}$ ）の間で働くので、 $\frac{T _{2}}{T _{1}} = \frac{T _{3}}{T _{4}} = (\frac{p _{2}}{p _{1}})^{(κ - 1) / κ}$ です。これから $T_{3} - T_{2} = \frac{T _{2}}{T _{1}} (T_{4} - T_{1})$ となるので
$η = 1 - \frac{q _{out}}{q _{in}} = 1 - \frac{T _{4} - T _{1}}{T _{3} - T _{2}} = 1 - \frac{T _{1}}{T _{2}}$
です。加熱後の温度 $T_{3}$ によらず、圧縮の前後の温度比（つまり圧力比）だけで決まります。

【再生】タービン出口の温度 $T_{4}$ が圧縮機出口の温度 $T_{2}$ より高い場合、そのまま捨てる排気の熱で圧縮後の空気を温められます。この熱交換器を再生器といいます。圧縮後の空気は再生器で $T_{2}$ から $T_{2^{'}}$ まで温まり、燃焼器では $T_{2^{'}}$ から $T_{3}$ まで加熱すれば済みます。空気が上がりうる最高温度は排気の温度 $T_{4}$ なので、実際の温度上昇との比を温度効率 $ε = \frac{T _{2^{'}} - T _{2}}{T _{4} - T _{2}}$ と定め、 $T_{2^{'}} = T_{2} + ε (T_{4} - T_{2})$ と書きます。再生器は燃焼器の負担を減らすだけで、圧縮機・タービンの仕事は変わらないので、
$η = \frac{( T _{3} - T _{4} ) - ( T _{2} - T _{1} )}{T _{3} - T _{2^{'}}}$
となり、分母が小さくなる分だけ効率が上がります。

手順

各状態の温度をそろえる: 圧縮機入口 $T_{1}$ 、圧縮機出口 $T_{2}$ 、タービン入口 $T_{3}$ 、タービン出口 $T_{4}$ 。足りない温度は $\frac{T _{2}}{T _{1}} = \frac{T _{3}}{T _{4}} = (\frac{p _{2}}{p _{1}})^{(κ - 1) / κ}$ から求める。
再生がなければ熱効率は $η = 1 - \frac{T _{1}}{T _{2}}$ 。
再生があれば、 $T_{4} > T_{2}$ を確かめてから、再生器出口の温度 $T_{2^{'}} = T_{2} + ε (T_{4} - T_{2})$ を求める。
正味の仕事に比例する量 $(T_{3} - T_{4}) - (T_{2} - T_{1})$ と、燃焼器での加熱に比例する量 $T_{3} - T_{2^{'}}$ を計算する。
熱効率 $η = \frac{( T _{3} - T _{4} ) - ( T _{2} - T _{1} )}{T _{3} - T _{2^{'}}}$ を求め、指定の桁数に丸める。

例題

理想的なブレイトンサイクルで動くガスタービンに、温度効率 $0.75$ の再生器を付ける。圧縮機入口の温度は $300 K$ 、圧縮機出口の温度は $500 K$ 、タービン入口の温度は $1200 K$ である。作動流体は比熱が一定の理想気体で、圧縮と膨張は同じ 2 つの圧力の間の可逆断熱変化、加熱と放熱は定圧変化とし、再生器以外の熱損失や圧力損失はないとする。このサイクルの熱効率を有効数字 3 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: $T_{1} = 300 K$ 、 $T_{2} = 500 K$ 、 $T_{3} = 1200 K$ 。 $\frac{T _{3}}{T _{4}} = \frac{T _{2}}{T _{1}} = \frac{5}{3}$ より $T_{4} = 1200 \times \frac{3}{5} = 720 K$ 。

手順 3: $T_{4} = 720 K > T_{2} = 500 K$ なので再生できる。再生器出口の温度は $T_{2^{'}} = 500 + 0.75 \times (720 - 500) = 500 + 165 = 665 K$ 。

手順 4: $(T_{3} - T_{4}) - (T_{2} - T_{1}) = 480 - 200 = 280 K$ 、 $T_{3} - T_{2^{'}} = 1200 - 665 = 535 K$ 。

手順 5: $η = \frac{280}{535} = \frac{56}{107} \approx 0.5234$ 。有効数字 3 桁で $η = 0.523$ 。

（参考: 再生しなければ手順 2 より $η = 1 - \frac{300}{500} = 0.400$ なので、再生で効率が上がっている。）

答え: $0.523$

よくある誤り

ブレイトンサイクルの効率を最高温度と最低温度で $η = 1 - \frac{T _{1}}{T _{3}}$ としてしまう誤り。正しくは圧縮前後の温度比で $η = 1 - \frac{T _{1}}{T _{2}}$ （例題の条件なら $1 - \frac{300}{1200} = 0.75$ ではなく $0.400$ ）。
再生器の温度効率を排気側の温度で $T_{2^{'}} = T_{4} - ε (T_{4} - T_{2})$ と取り違える誤り。正しくは空気が $T_{2}$ から上がる量で $T_{2^{'}} = T_{2} + ε (T_{4} - T_{2})$ （例題なら $555 K$ ではなく $665 K$ ）。
再生で正味の仕事も変わると考え、分子にも $T_{2^{'}}$ を使って $\frac{( T _{3} - T _{4} ) - ( T _{2^{'}} - T _{1} )}{T _{3} - T _{2^{'}}}$ としてしまう誤り。圧縮機とタービンの仕事は変わらないので、分子は $(T_{3} - T_{4}) - (T_{2} - T_{1})$ のまま。
$T_{4} < T_{2}$ の場合にも再生の式を使ってしまう誤り。そのときは排気の方が圧縮後の空気より冷たく、再生器で空気を温められない（使うと逆に効率が下がる）ので、 $T_{4} > T_{2}$ を確かめてから使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
空気を作動流体とする、再生器のない理想的なブレイトンサイクル（等エントロピー圧縮 → 等圧加熱 → 等エントロピー膨張 → 等圧放熱）で動くガスタービンがある。圧縮機の入口の空気の温度は $T_{1} = 300 K$ 、圧縮機の出口の温度は $T_{2} = 500 K$ である。このサイクルの理論熱効率を求めよ。答えは既約分数で答えよ。ただし、空気は比熱が一定の理想気体とみなす。

ブレイトンサイクルと再生

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題