定常流動系のエネルギー式

蒸気タービンに、比エンタルピー $h_1=3200\text{kJ/kg}$ の水蒸気が質量流量 $\dot{m}=5.0\text{kg/s}$ で定常的に流入し、比エンタルピー $h_2=2600\text{kJ/kg}$ で流出する。タービンは断熱されており、入口と出口での運動エネルギーと位置エネルギーの差は無視できるものとする。このタービンが外部にする仕事の仕事率（出力）は何 kW か。整数で答えよ。

冷媒を作動流体とする蒸気圧縮式冷凍機を考える。冷媒は一定の質量流量で、圧縮機 → 凝縮器 → 膨張弁 → 蒸発器 → 圧縮機の順に定常的に流れる。各機器での運動エネルギー・位置エネルギーの変化は無視し、圧縮機と膨張弁は断熱とする。また、凝縮器・蒸発器では外部と熱のやりとりだけがあり、仕事のやりとりはない。各状態での冷媒の比エンタルピーは次のとおりである。

• 状態 1（蒸発器出口 = 圧縮機入口、乾き飽和蒸気）: $h_1=400\text{kJ/kg}$
• 状態 1 から同じ吐出圧力まで可逆断熱（等エントロピー）圧縮したと仮定した場合の出口: $h_{2s}=430\text{kJ/kg}$
• 状態 3（凝縮器出口 = 膨張弁入口、飽和液）: $h_3=250\text{kJ/kg}$

圧縮機の断熱効率（等エントロピー効率）は ${\eta }_c=0.75$ であり、実際の圧縮機出口を状態 2 とする。膨張弁出口（蒸発器入口）を状態 4 とする。

この冷凍機の冷凍サイクルとしての成績係数 ${\mathrm{COP}}_R$（蒸発器で冷媒が吸収する熱量を圧縮機の仕事で割ったもの）を、既約分数で求めよ。

液ガス熱交換器（内部熱交換器）を備えた蒸気圧縮式冷凍サイクルを考える。冷媒は次の順に流れる。

• 状態 1: 蒸発器出口。乾き飽和蒸気で、比エンタルピー $h_1=400\text{kJ/kg}$
• 状態 1 → 1′: 液ガス熱交換器で、凝縮器を出た液から熱を受け取って過熱される。$h_{1^{\prime }}=410\text{kJ/kg}$
• 状態 1′ → 2: 圧縮機で断熱圧縮される。状態 1′ から凝縮圧力まで等エントロピー圧縮したときの出口比エンタルピーは $h_{2s}=445\text{kJ/kg}$ であり、圧縮機の断熱効率（等エントロピー効率）は ${\eta }_c=0.80$ である
• 状態 2 → 3: 凝縮器で凝縮し、飽和液となって出る。$h_3=250\text{kJ/kg}$
• 状態 3 → 3′: 液ガス熱交換器で、状態 1 → 1′ の蒸気に熱を与えて過冷却される
• 状態 3′ → 4: 膨張弁で絞り膨張し、蒸発器に入る

液ガス熱交換器・膨張弁・配管は外部と熱をやりとりせず、圧力損失、運動エネルギー・位置エネルギーの変化は無視できる。流れは定常とする。

この冷凍サイクルの成績係数（冷凍能力 / 圧縮機の動力）を有効数字 3 桁で求めよ。

フラッシュタンク（開放形中間冷却器）を備えた二段圧縮式の蒸気圧縮冷凍サイクルを考える。冷媒は次のように定常的に流れる。

• 低段側：蒸発器を出た低圧の乾き飽和蒸気（状態 1）が低段圧縮機で中間圧まで断熱圧縮されて状態 2 となり、フラッシュタンクに吹き込まれる。
• 高段側：フラッシュタンクを出た中間圧の乾き飽和蒸気（状態 3）が高段圧縮機で高圧まで断熱圧縮されて状態 4 となり、凝縮器で凝縮して高圧の飽和液（状態 5）となる。状態 5 の液は膨張弁 A で中間圧まで絞られて状態 6 となり、フラッシュタンクに入る。
• フラッシュタンクからは、中間圧の乾き飽和蒸気（状態 3）が高段圧縮機へ、中間圧の飽和液（状態 7）が膨張弁 B へ出ていく。状態 7 の液は膨張弁 B で低圧まで絞られて状態 8 となり、蒸発器に入る。

各状態の比エンタルピーとして次の値を用いる。
$$h_1=380\text{kJ/kg},h_3=400\text{kJ/kg},h_5=255\text{kJ/kg},h_7=200\text{kJ/kg}$$
また、状態 1 から中間圧まで等エントロピー圧縮したときの出口の比エンタルピーは $h_{2s}=405\text{kJ/kg}$、状態 3 から高圧まで等エントロピー圧縮したときの出口の比エンタルピーは $h_{4s}=425\text{kJ/kg}$ である。2 台の圧縮機の断熱効率（等エントロピー効率）はともに ${\eta }_c=0.80$ とする。

膨張弁での絞りは断熱で外部と仕事のやりとりがないものとし、フラッシュタンクは断熱容器で仕事のやりとりはないものとする。運動エネルギー・位置エネルギーの変化は無視する。このサイクルの冷凍の成績係数（蒸発器での吸熱量を 2 台の圧縮機の動力の和で割ったもの）を、既約分数で求めよ。

再生器をもたない単純なガスタービン（ブレイトンサイクル）を考える。作動流体は定圧比熱 $c_p$ と比熱比 $\gamma$ が一定の理想気体とみなし、質量流量は一定とする。サイクルは次の 4 つの過程からなる。

• 状態 1 → 2: 圧縮機での断熱圧縮。圧縮機入口温度 $T_1=300\text{K}$、圧縮機の断熱効率 ${\eta }_C=0.80$
• 状態 2 → 3: 燃焼器での等圧加熱。タービン入口温度 $T_3=1350\text{K}$
• 状態 3 → 4: タービンでの断熱膨張。タービンの断熱効率 ${\eta }_T=0.90$
• 状態 4 → 1: 等圧放熱

圧力比を $\pi =p_2/p_1$（$\pi >1$）とし、$p_3=p_2$、$p_4=p_1$ とする。圧縮機・タービンの断熱効率は、同じ圧力比での等エントロピー変化に対する比エンタルピー変化の比で定義する（圧縮機では「等エントロピー圧縮の仕事 / 実際の圧縮仕事」、タービンでは「実際の膨張仕事 / 等エントロピー膨張の仕事」）。運動エネルギー・位置エネルギーの変化と、圧縮機・タービンからの熱損失は無視する。

$T_1$、$T_3$、${\eta }_C$、${\eta }_T$ を固定して圧力比 $\pi$ だけを変えるとき、作動流体の単位質量あたりの正味仕事が最大になる圧力比で運転した場合の、このサイクルの熱効率を求めよ。正確な値（分数）で答えよ。

空気を作動流体とする逆ブレイトンサイクル（空気冷凍サイクル）を考える。空気は定圧比熱 $c_p$ が一定の理想気体とみなし、比熱比を $\gamma$ とする。空気は一定の質量流量で次の 4 つの機器を順に定常的に流れる。運動エネルギー・位置エネルギーの変化は無視し、圧縮機とタービン（膨張機）は外部と熱のやりとりをしない（断熱）とする。また、熱交換器内での圧力損失は無視する。

• 状態 1 → 2: 圧縮機で断熱圧縮する。圧縮機入口温度は $T_1=270\text{K}$、圧力比（出口圧力 / 入口圧力）を $r_p$ とする。圧縮機の断熱効率（等エントロピー効率）は ${\eta }_c=0.80$ である。
• 状態 2 → 3: 放熱器で定圧のまま外気へ放熱し、温度 $T_3=300\text{K}$ になる。
• 状態 3 → 4: タービンで断熱膨張し、圧力を圧縮機入口の圧力まで下げる。タービンの断熱効率（等エントロピー効率）は ${\eta }_t=0.90$ である。
• 状態 4 → 1: 冷却器で定圧のまま冷却空間から吸熱し、状態 1 に戻る。

ただし、圧力比は $r_p^{(\gamma -1)/\gamma }=1.5$ を満たすものとする。タービンで得た仕事はすべて圧縮機の駆動に使い、不足分を外部から供給する。このとき、冷凍サイクルの成績係数（冷却器での吸熱量を、外部から供給する正味の仕事で割った値）を既約分数で求めよ。