ランキンサイクルの熱効率

各状態の比エンタルピーを与えたランキンサイクルで、タービン仕事・ポンプ仕事・加熱量から熱効率 $η = \frac{( h _{3} - h _{4} ) - ( h _{2} - h _{1} )}{h _{3} - h _{2}}$ を求められる

前提

定常流動系のエネルギー式（大学物理熱工学・伝熱）

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算数中学高校大学大学院

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定常流動系のエネルギー式（大学物理熱工学・伝熱）

説明

ランキンサイクルは、火力発電所や原子力発電所の蒸気原動所の基本となるサイクルで、水をポンプで加圧し、ボイラーで加熱して高温高圧の蒸気にし、タービンで膨張させて仕事を取り出し、復水器で冷やして水に戻します。この技能では、4 つの機器の入口・出口の比エンタルピーが与えられたとき、定常流動系のエネルギー式を機器ごとに使って、タービン仕事・ポンプ仕事・ボイラーでの加熱量を求め、サイクルの熱効率を計算します。

なぜそうしてよいのか

作動流体（水・蒸気）1 kg が、次の 4 つの機器を順に流れて元の状態に戻ると考えます。状態 1 は復水器を出た水（低圧）、状態 2 はポンプで加圧された水（高圧）、状態 3 はボイラーを出た蒸気（高圧・高温）、状態 4 はタービンを出た蒸気（低圧）です。各機器は定常流動系なので、流体 1 kg に入る熱を $q$ 、外部に取り出す仕事を $w$ として $q - w = h_{出口} - h_{入口}$ が使えます（運動エネルギーと位置エネルギーの変化は無視）。

ポンプ（1→2）とタービン（3→4）は断熱なので $q = 0$ です。ポンプでは $- w = h_{2} - h_{1}$ なので、ポンプに加える仕事は $w_{P} = h_{2} - h_{1}$ 。タービンでは $w = h_{3} - h_{4}$ なので、タービンが取り出す仕事は $w_{T} = h_{3} - h_{4}$ 。ボイラー（2→3）と復水器（4→1）には軸がないので $w = 0$ で、ボイラーで受け取る熱は $q_{in} = h_{3} - h_{2}$ 、復水器で捨てる熱は $q_{out} = h_{4} - h_{1}$ です。

サイクル全体で取り出せる正味の仕事は、タービン仕事からポンプを回すのに使った仕事を引いた $w_{net} = w_{T} - w_{P}$ です。熱効率は「正味の仕事 ÷ 外から受け取った熱」なので
$η = \frac{w _{T} - w _{P}}{q _{in}} = \frac{( h _{3} - h _{4} ) - ( h _{2} - h _{1} )}{h _{3} - h _{2}}$
です。サイクルを一周すると比エンタルピーは元に戻るので、 $w_{net} = q_{in} - q_{out}$ も成り立ち、 $η = 1 - \frac{h _{4} - h _{1}}{h _{3} - h _{2}}$ と書いても同じです。水は圧縮しにくいので、ポンプ仕事はタービン仕事に比べてずっと小さいのが特徴です。

手順

状態の番号を確かめる: 1 ポンプ入口（復水器出口）、2 ポンプ出口（ボイラー入口）、3 ボイラー出口（タービン入口）、4 タービン出口（復水器入口）。
タービン仕事 $w_{T} = h_{3} - h_{4}$ を求める。
ポンプ仕事 $w_{P} = h_{2} - h_{1}$ を求める。
ボイラーでの加熱量 $q_{in} = h_{3} - h_{2}$ を求める（ $h_{3} - h_{1}$ ではない）。
熱効率 $η = \frac{w _{T} - w _{P}}{q _{in}}$ を計算する。確かめとして $q_{out} = h_{4} - h_{1}$ を使い $w_{T} - w_{P} = q_{in} - q_{out}$ となることを見る。

例題

ランキンサイクルで、各状態の比エンタルピーが、ポンプ入口 $h_{1} = 192 kJ/kg$ 、ポンプ出口 $h_{2} = 200 kJ/kg$ 、タービン入口 $h_{3} = 3400 kJ/kg$ 、タービン出口 $h_{4} = 2240 kJ/kg$ である。各機器は定常流動系で、ポンプとタービンは断熱、運動エネルギーと位置エネルギーの変化は無視できるとする。このサイクルの熱効率を求めよ。

例題の解答

手順 1: 状態 1〜4 は問題文の順のとおり。

手順 2: タービン仕事は $w_{T} = 3400 - 2240 = 1160 kJ/kg$ 。

手順 3: ポンプ仕事は $w_{P} = 200 - 192 = 8 kJ/kg$ 。

手順 4: ボイラーでの加熱量は $q_{in} = 3400 - 200 = 3200 kJ/kg$ 。

手順 5: 熱効率は
$η = \frac{1160 - 8}{3200} = \frac{1152}{3200} = 0.36$
（確かめ: $q_{out} = 2240 - 192 = 2048 kJ/kg$ で、 $q_{in} - q_{out} = 3200 - 2048 = 1152 kJ/kg$ と一致する。）

答え: $0.36$

よくある誤り

ポンプ仕事を引き忘れ、 $η = \frac{h _{3} - h _{4}}{h _{3} - h _{2}}$ としてしまう誤り。ポンプを回す仕事はタービン仕事の一部でまかなうので、正しくは $η = \frac{( h _{3} - h _{4} ) - ( h _{2} - h _{1} )}{h _{3} - h _{2}}$ （例題なら $0.3625$ ではなく $0.36$ ）。
ボイラーでの加熱量をポンプ入口から数えて $q_{in} = h_{3} - h_{1}$ としてしまう誤り。ボイラーに入るのはポンプで加圧された状態 2 の水なので、正しくは $q_{in} = h_{3} - h_{2}$ 。
ポンプ仕事を足してしまい、 $w_{net} = (h_{3} - h_{4}) + (h_{2} - h_{1})$ としてしまう誤り。ポンプには外から仕事を加えるので、正味の仕事は $w_{net} = (h_{3} - h_{4}) - (h_{2} - h_{1})$ 。
熱効率を復水器での放熱を使って $η = \frac{h _{4} - h _{1}}{h _{3} - h _{2}}$ としてしまう誤り。これは捨てる熱の割合なので、正しくは $η = 1 - \frac{h _{4} - h _{1}}{h _{3} - h _{2}}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
水を作動流体とする単純なランキンサイクルが定常に運転されている。状態 $1$ はポンプ入口（復水器出口の飽和水）、状態 $2$ はポンプ出口（ボイラ入口）、状態 $3$ はタービン入口（ボイラ出口）、状態 $4$ はタービン出口（復水器入口）である。各状態の比エンタルピーは
$h_{1} = 190 kJ/kg, h_{2} = 200 kJ/kg, h_{3} = 3200 kJ/kg, h_{4} = 2090 kJ/kg$
である。ポンプとタービンは断熱であり、各機器の運動エネルギーと位置エネルギーの変化、配管での損失は無視する。このサイクルの熱効率 $η$ を既約分数で求めよ。