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熱工学・伝熱の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理熱工学・伝熱

再生器をもたない単純なガスタービン（ブレイトンサイクル）を考える。作動流体は定圧比熱 $c_{p}$ と比熱比 $γ$ が一定の理想気体とみなし、質量流量は一定とする。サイクルは次の 4 つの過程からなる。

状態 1 → 2: 圧縮機での断熱圧縮。圧縮機入口温度 $T_{1} = 300 K$ 、圧縮機の断熱効率 $η_{C} = 0.80$
状態 2 → 3: 燃焼器での等圧加熱。タービン入口温度 $T_{3} = 1350 K$
状態 3 → 4: タービンでの断熱膨張。タービンの断熱効率 $η_{T} = 0.90$
状態 4 → 1: 等圧放熱

圧力比を $π = p_{2} / p_{1}$ （ $π > 1$ ）とし、 $p_{3} = p_{2}$ 、 $p_{4} = p_{1}$ とする。圧縮機・タービンの断熱効率は、同じ圧力比での等エントロピー変化に対する比エンタルピー変化の比で定義する（圧縮機では「等エントロピー圧縮の仕事 / 実際の圧縮仕事」、タービンでは「実際の膨張仕事 / 等エントロピー膨張の仕事」）。運動エネルギー・位置エネルギーの変化と、圧縮機・タービンからの熱損失は無視する。

$T_{1}$ 、 $T_{3}$ 、 $η_{C}$ 、 $η_{T}$ を固定して圧力比 $π$ だけを変えるとき、作動流体の単位質量あたりの正味仕事が最大になる圧力比で運転した場合の、このサイクルの熱効率を求めよ。正確な値（分数）で答えよ。

この問題で使うもの

ブレイトンサイクルと再生（説明と入口の問題）
定常流動系のエネルギー式（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（61 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$x = π^{(γ - 1) / γ}$ とおき、断熱効率の定義を使って圧縮機出口温度 $T_{2}$ とタービン出口温度 $T_{4}$ を $x$ で表しましょう。

ヒント 2

正味仕事は $w = c_{p} [η_{T} T_{3} (1 - \frac{1}{x}) - \frac{T _{1} ( x - 1 )}{η _{C}}]$ です。これを $x$ で微分して最大となる $x$ を求めます。

ヒント 3

最大となるのは $x^{2} = η_{C} η_{T} \frac{T _{3}}{T _{1}}$ のときで、 $x = 1.8$ です。このとき $T_{2} = 600 K$ になります。 $T_{4}$ を求め、正味仕事と加熱量の比を計算しましょう。

答えと解説

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\frac{8}{25}

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解説を読む

1. 各状態の温度を圧力比で表す

$x = π^{(γ - 1) / γ}$ （ $x > 1$ ）とおく。比熱一定の理想気体の可逆断熱変化では $T p^{- (γ - 1) / γ} = 一定$ なので、等エントロピー変化での出口温度は
$T_{2 s} = T_{1} x, T_{4 s} = \frac{T _{3}}{x}$
比熱が一定なので比エンタルピー差は $c_{p} \times$ （温度差）で表せる。断熱効率の定義より
$T_{2} - T_{1} = \frac{T _{2 s} - T _{1}}{η _{C}} = \frac{T _{1} ( x - 1 )}{η _{C}}, T_{3} - T_{4} = η_{T} (T_{3} - T_{4 s}) = η_{T} T_{3} (1 - \frac{1}{x})$

2. 正味仕事を最大にする $x$

定常流のエネルギー式（運動・位置エネルギー変化と熱損失を無視）より、単位質量あたりの正味仕事は
$w (x) = c_{p} [η_{T} T_{3} (1 - \frac{1}{x}) - \frac{T _{1} ( x - 1 )}{η _{C}}]$
$x$ で微分して $0$ とおくと
$\frac{d w}{d x} = c_{p} [\frac{η _{T} T _{3}}{x ^{2}} - \frac{T _{1}}{η _{C}}] = 0 ⟹ x^{2} = η_{C} η_{T} \frac{T _{3}}{T _{1}}$
$\frac{d ^{2} w}{d x ^{2}} = - \frac{2 c _{p} η _{T} T _{3}}{x ^{3}} < 0$ なので、これは最大である。数値を代入すると
$x^{2} = 0.80 \times 0.90 \times \frac{1350}{300} = 0.72 \times 4.5 = 3.24, x = 1.8 (> 1)$

3. 各状態の温度
$T_{2} = T_{1} + \frac{T _{1} ( x - 1 )}{η _{C}} = 300 + \frac{300 \times 0.8}{0.80} = 600 K$
$T_{4} = T_{3} - η_{T} T_{3} (1 - \frac{1}{x}) = 1350 - 0.90 \times 1350 \times \frac{0.8}{1.8} = 1350 - 540 = 810 K$

4. 熱効率

タービン仕事 $c_{p} (T_{3} - T_{4}) = 540 c_{p}$ 、圧縮機仕事 $c_{p} (T_{2} - T_{1}) = 300 c_{p}$ より、正味仕事は $w = 240 c_{p}$ 。
燃焼器での加熱量は $q_{in} = c_{p} (T_{3} - T_{2}) = 750 c_{p}$ 。よって
$η = \frac{w}{q _{in}} = \frac{240}{750} = \frac{8}{25}$

別解

$x = π^{(γ - 1) / γ}$ とおく（等エントロピー温度比）。単位質量あたり $c_{p}$ で割った仕事：
圧縮機 $w_{C} / c_{p} = \frac{T _{1} ( x - 1 )}{η _{C}}$ 、タービン $w_{T} / c_{p} = η_{T} T_{3} (1 - \frac{1}{x})$ 。
正味仕事 $w / c_{p} = η_{T} T_{3} (1 - \frac{1}{x}) - \frac{T _{1}}{η _{C}} (x - 1)$ 。
$x$ で微分して 0： $\frac{η _{T} T _{3}}{x ^{2}} - \frac{T _{1}}{η _{C}} = 0$ より $x^{2} = \frac{η _{T} η _{C} T _{3}}{T _{1}} = 0.9 \times 0.8 \times \frac{1350}{300} = 3.24$ 、 $x = 1.8$ （2 階微分は負なので最大）。
このとき： $T_{2} = T_{1} + \frac{T _{1} ( x - 1 )}{η _{C}} = 300 + \frac{300 \times 0.8}{0.8} = 600 K$ 。
タービン仕事 $w_{T} / c_{p} = 0.9 \times 1350 \times (1 - \frac{1}{1.8}) = 1215 \times \frac{4}{9} = 540 K$ 、圧縮機仕事 $w_{C} / c_{p} = 300 K$ 、正味 $240 K$ 。
加熱量 $q_{in} / c_{p} = T_{3} - T_{2} = 1350 - 600 = 750 K$ 。
熱効率 $η = \frac{240}{750} = \frac{8}{25} = 0.32$ 。
検算： $T_{4} = 1350 - 540 = 810$ 、放熱 $T_{4} - T_{1} = 510$ 、 $750 - 510 = 240$ で一致。

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