熱工学・伝熱の問題

再生器をもたない単純なガスタービン（ブレイトンサイクル）を考える。作動流体は定圧比熱 $c_p$ と比熱比 $\gamma$ が一定の理想気体とみなし、質量流量は一定とする。サイクルは次の 4 つの過程からなる。

• 状態 1 → 2: 圧縮機での断熱圧縮。圧縮機入口温度 $T_1=300\text{K}$、圧縮機の断熱効率 ${\eta }_C=0.80$
• 状態 2 → 3: 燃焼器での等圧加熱。タービン入口温度 $T_3=1350\text{K}$
• 状態 3 → 4: タービンでの断熱膨張。タービンの断熱効率 ${\eta }_T=0.90$
• 状態 4 → 1: 等圧放熱

圧力比を $\pi =p_2/p_1$（$\pi >1$）とし、$p_3=p_2$、$p_4=p_1$ とする。圧縮機・タービンの断熱効率は、同じ圧力比での等エントロピー変化に対する比エンタルピー変化の比で定義する（圧縮機では「等エントロピー圧縮の仕事 / 実際の圧縮仕事」、タービンでは「実際の膨張仕事 / 等エントロピー膨張の仕事」）。運動エネルギー・位置エネルギーの変化と、圧縮機・タービンからの熱損失は無視する。

$T_1$、$T_3$、${\eta }_C$、${\eta }_T$ を固定して圧力比 $\pi$ だけを変えるとき、作動流体の単位質量あたりの正味仕事が最大になる圧力比で運転した場合の、このサイクルの熱効率を求めよ。正確な値（分数）で答えよ。

空気を作動流体とする逆ブレイトンサイクル（空気冷凍サイクル）を考える。空気は定圧比熱 $c_p$ が一定の理想気体とみなし、比熱比を $\gamma$ とする。空気は一定の質量流量で次の 4 つの機器を順に定常的に流れる。運動エネルギー・位置エネルギーの変化は無視し、圧縮機とタービン（膨張機）は外部と熱のやりとりをしない（断熱）とする。また、熱交換器内での圧力損失は無視する。

• 状態 1 → 2: 圧縮機で断熱圧縮する。圧縮機入口温度は $T_1=270\text{K}$、圧力比（出口圧力 / 入口圧力）を $r_p$ とする。圧縮機の断熱効率（等エントロピー効率）は ${\eta }_c=0.80$ である。
• 状態 2 → 3: 放熱器で定圧のまま外気へ放熱し、温度 $T_3=300\text{K}$ になる。
• 状態 3 → 4: タービンで断熱膨張し、圧力を圧縮機入口の圧力まで下げる。タービンの断熱効率（等エントロピー効率）は ${\eta }_t=0.90$ である。
• 状態 4 → 1: 冷却器で定圧のまま冷却空間から吸熱し、状態 1 に戻る。

ただし、圧力比は $r_p^{(\gamma -1)/\gamma }=1.5$ を満たすものとする。タービンで得た仕事はすべて圧縮機の駆動に使い、不足分を外部から供給する。このとき、冷凍サイクルの成績係数（冷却器での吸熱量を、外部から供給する正味の仕事で割った値）を既約分数で求めよ。

理想的なディーゼルサイクル（空気標準サイクル）を考える。作動流体は比熱が一定の理想気体とみなし、比熱比を $\gamma =1.4$ とする。作動流体の量は一定とし、サイクルは次の 4 つの可逆過程からなる。

• 状態 1 → 2: 断熱圧縮。状態 1 の温度は $T_1=300\text{K}$、状態 2 の温度は $T_2=900\text{K}$
• 状態 2 → 3: 等圧加熱。締切比（等圧加熱の後と前の体積の比）は $V_3/V_2=2$
• 状態 3 → 4: 断熱膨張。状態 4 の体積は状態 1 の体積に等しい
• 状態 4 → 1: 等積放熱

このサイクルの理論熱効率を、有効数字 3 桁の小数で求めよ。

液ガス熱交換器（内部熱交換器）を備えた蒸気圧縮式冷凍サイクルを考える。冷媒は次の順に流れる。

• 状態 1: 蒸発器出口。乾き飽和蒸気で、比エンタルピー $h_1=400\text{kJ/kg}$
• 状態 1 → 1′: 液ガス熱交換器で、凝縮器を出た液から熱を受け取って過熱される。$h_{1^{\prime }}=410\text{kJ/kg}$
• 状態 1′ → 2: 圧縮機で断熱圧縮される。状態 1′ から凝縮圧力まで等エントロピー圧縮したときの出口比エンタルピーは $h_{2s}=445\text{kJ/kg}$ であり、圧縮機の断熱効率（等エントロピー効率）は ${\eta }_c=0.80$ である
• 状態 2 → 3: 凝縮器で凝縮し、飽和液となって出る。$h_3=250\text{kJ/kg}$
• 状態 3 → 3′: 液ガス熱交換器で、状態 1 → 1′ の蒸気に熱を与えて過冷却される
• 状態 3′ → 4: 膨張弁で絞り膨張し、蒸発器に入る

液ガス熱交換器・膨張弁・配管は外部と熱をやりとりせず、圧力損失、運動エネルギー・位置エネルギーの変化は無視できる。流れは定常とする。

この冷凍サイクルの成績係数（冷凍能力 / 圧縮機の動力）を有効数字 3 桁で求めよ。

高速ディーゼル機関を理想化したサバテサイクル（複合サイクル、空気標準サイクル）を考える。作動流体は比熱比 $\gamma =1.40$ で、定積比熱・定圧比熱がともに一定の理想気体とみなす。作動流体の量は一定（閉じた系）とし、各過程はすべて準静的（可逆）に進むとする。サイクルは次の 5 つの過程からなる。

• 状態 1 → 2: 可逆断熱圧縮
• 状態 2 → 3: 定積加熱
• 状態 3 → 4: 定圧加熱
• 状態 4 → 5: 可逆断熱膨張（$V_5=V_1$）
• 状態 5 → 1: 定積放熱

圧縮比は $\epsilon =V_1/V_2=18$、圧縮始めの温度は $T_1=300\text{K}$ である。定積加熱での圧力上昇比は $p_3/p_2=1.50$ で、サイクルの最高温度は $T_4=2200\text{K}$ である。

このサイクルの理論熱効率を、有効数字 3 桁の小数で求めよ。