ガウスの法則

電気力線を電場の強さ $E$ に対して 1 m $^{2}$ あたり $E$ 本引くと約束したとき、電気量 $Q$ の点電荷から出る電気力線が $4 π k Q$ 本であり、任意の閉曲面を貫く電気力線の本数が内部の電気量の総和で決まること（ガウスの法則）を答えられる

前提

クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））

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クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））

説明

電気力線の本数を電場の強さと結びつけて数えると、電気量 $Q$ の点電荷から出る電気力線の総本数は $4 π k Q$ 本と決まります。さらに、どんな形の閉じた面（閉曲面）でも、そこを貫いて外へ出ていく電気力線の正味の本数は、面の内部にある電気量の総和だけで決まります。これをガウスの法則といいます。電気力線の本数や、閉曲面と電荷の関係について述べた文の正誤を判断するときに使います。また、対称性のよい電荷分布の電場を求める基礎にもなります。

なぜそうしてよいのか

電気力線は「電場の強さが $E$ のところでは、電場に垂直な面 1 m $^{2}$ あたり $E$ 本引く」と約束します。電気量 $Q (> 0)$ の点電荷から距離 $r$ の点の電場の強さは、クーロンの法則から $E = k \frac{Q}{r ^{2}}$ です。点電荷を中心とする半径 $r$ の球面上では、電場はどこでも同じ強さで、向きは球面に垂直（外向き）です。球面の面積は $4 π r^{2}$ なので、球面を貫く本数は $N = E \times 4 π r^{2} = k \frac{Q}{r ^{2}} \times 4 π r^{2} = 4 π k Q$ となり、 $r$ が消えます。電場は $\frac{1}{r ^{2}}$ に比例して弱くなりますが、面積が $r^{2}$ に比例して広がるので、本数は変わりません。

電気力線は正電荷から出て負電荷に入り、途中で途切れたり枝分かれしたりしません。そのため、電荷を囲む面の形をどう変えても、そこを通って出ていく電気力線の正味の本数は $4 π k Q$ 本のままです。負電荷 $- Q$ の場合は、 $4 π k Q$ 本が外から入ってきます。閉曲面の外にある電荷の電気力線は、閉曲面に入ったぶんだけ必ず出ていくので、正味では 0 本です。内部に電荷がいくつもあるときは、それぞれの寄与を符号つきで足し合わせます。

以上をまとめたものがガウスの法則です。「閉曲面から外へ出る電気力線の本数から、外から入る本数を引いた正味の本数 $N$ は、内部の電気量の総和 $Q_{内}$ を使って $N = 4 π k Q_{内}$ と表される」。なお、 $k = \frac{1}{4 π ε _{0}}$ （ $ε_{0}$ は真空の誘電率）を使えば、 $N = \frac{Q _{内}}{ε _{0}}$ とも表せます。

手順

考える閉曲面を決め、その内部にある電荷と外部にある電荷を分ける。外部の電荷は正味の本数に影響しないので除外する。
内部の電荷の電気量を符号つきで足し合わせ、 $Q_{内}$ を求める。
閉曲面から外へ出る電気力線の正味の本数を $N = 4 π k Q_{内}$ とする。 $Q_{内} > 0$ なら外向きに出ていき、 $Q_{内} < 0$ なら $4 π k ∣ Q_{内} ∣$ 本が内向きに入り、 $Q_{内} = 0$ なら正味 0 本となる。
この本数が閉曲面の形や大きさ、内部での電荷の位置によらないことを確かめ、問われている文と照らし合わせる（電場が閉曲面に垂直で、その強さが面上のどこでも同じなら、 $E \times (面積) = N$ から $E$ も求められる）。

例題

クーロンの法則の比例定数を $k$ とし、電気力線は電場の強さ $E$ のところで電場に垂直な面 1 m $^{2}$ あたり $E$ 本引くものとする。電気力線と閉曲面について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　電気量 $Q (> 0)$ の点電荷を中心とする半径 $r$ の球面を貫く電気力線の本数は、 $r$ が大きいほど少ない。
イ　閉曲面の外部にある電荷は、その閉曲面から外へ出る電気力線の正味の本数（出る本数から入る本数を引いたもの）を変えない。
ウ　電気量 $Q (> 0)$ の点電荷から出る電気力線の総本数は $k Q$ 本である。
エ　閉曲面の内部に電気量 $+ Q$ と $- Q$ の点電荷があるとき、その閉曲面から外へ出る電気力線の正味の本数は $8 π k Q$ 本である。

例題の解答

ア：手順 1・2 より、閉曲面（球面）の内部の電気量は $Q_{内} = Q$ です。手順 3 より本数は $N = 4 π k Q$ です。手順 4 で確かめると、これは半径 $r$ によりません（ $k \frac{Q}{r ^{2}} \times 4 π r^{2} = 4 π k Q$ ）。よって誤りです。
イ：手順 1 のとおり、外部の電荷の電気力線は閉曲面に入ったぶんだけ出ていくので、正味は 0 本です。正味の本数は内部の電気量だけで決まります。よって正しい文です。
ウ：手順 3 より、総本数は $4 π k Q$ 本であり、 $k Q$ 本ではありません。よって誤りです。
エ：手順 2 で符号つきで足すと $Q_{内} = (+ Q) + (- Q) = 0$ です。手順 3 より $N = 4 π k \times 0 = 0$ 本となり、 $8 π k Q$ 本ではありません。よって誤りです。
以上より、正しいものはイです。

答え:

イ

よくある誤り

球面が大きいほど電場が弱いので、貫く本数も減るとしてしまう誤り。正しくは、電場は $\frac{1}{r ^{2}}$ に比例して弱くなるが、面積は $4 π r^{2}$ で増えるので、 $N = k \frac{Q}{r ^{2}} \times 4 π r^{2} = 4 π k Q$ となり、 $r$ によらない。
点電荷から出る本数を $k Q$ 本や $\frac{k Q}{r ^{2}}$ 本としてしまう誤り。正しくは、 $\frac{k Q}{r ^{2}}$ は電場に垂直な面 1 m $^{2}$ あたりの本数（電場の強さ）であり、総本数は球面の面積 $4 π r^{2}$ をかけた $4 π k Q$ 本である。
閉曲面の外部にある電荷まで $Q_{内}$ に足してしまう誤り。正しくは、外部の電荷による電気力線は入った本数だけ出ていくので正味 0 本であり、 $N = 4 π k Q_{内}$ には内部の電荷だけを使う。
電気量の大きさだけを足してしまう誤り（内部に $+ 2 Q$ と $- Q$ があるとき $N = 4 π k \times 3 Q$ とする）。正しくは、符号つきで $Q_{内} = 2 Q - Q = Q$ とし、 $N = 4 π k Q$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中で、電気力線を、電場の強さが $E [N/C]$ の場所では電場に垂直な面 $1 m^{2}$ あたり $E$ 本の割合で引くと約束する。クーロンの法則の比例定数を $k [N \cdot m^{2} / C^{2}]$ とする。
真空中に、電気量 $2 Q [C] (Q > 0)$ の点電荷 A と、電気量 $Q [C]$ の点電荷 B を置いた。A だけを内部に囲み、B は外部にあるような閉曲面 S を考える。
「閉曲面 S を内側から外側へ貫く電気力線の本数から、外側から内側へ貫く電気力線の本数を引いたものは（ a ）本である。また、A を内部に、B を外部にしたまま閉曲面 S の形や大きさを変えると、この本数は（ b ）。」
文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、次の表のア〜エのうちから 1 つ選べ。
a b
ア $12 π k Q$ 変わらない
イ $8 π k Q$ 変わる
ウ $12 π k Q$ 変わる
エ $8 π k Q$ 変わらない

	a	b
ア	$12 π k Q$	変わらない
イ	$8 π k Q$	変わる
ウ	$12 π k Q$	変わる
エ	$8 π k Q$	変わらない

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
電気力線を、電場の強さが $E [N/C]$ の場所では電場に垂直な面 $1 m^{2}$ あたり $E$ 本の割合で引くと約束する。クーロンの法則の比例定数を $k [N \cdot m^{2} / C^{2}]$ とすると、真空中で電気量 $Q [C]$ （ $Q > 0$ ）の点電荷から出る電気力線の総数は $4 π k Q$ 本となる。このことを一般化した「任意の閉じた曲面を内側から外側へ貫く電気力線の本数は、その曲面の内部にある電気量の総和を $Q$ とすると $4 π k Q$ 本である」という法則を何というか。

難易度 3（共通テストレベル）

真空中に置かれた電気量 $Q (Q > 0)$ の点電荷のまわりの電場と電気力線について述べた次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、下のア〜カのうちから 1 つ選べ。

「電気力線上の各点で電気力線に引いた接線の向きは、その点に置いた $a$ の向きと一致する。また、電場の強さが $E [N/C]$ の点では、電場に垂直な面を $1 m^{2}$ あたり $E$ 本の電気力線が貫くように電気力線を引くことにする。このとき、点電荷を中心とする半径 $r$ の球面を貫く電気力線の総数は、 $r$ に $b$ 。」

	a	b
ア	正の点電荷が受ける静電気力	比例する
イ	正の点電荷が受ける静電気力	関係なく一定である
ウ	正の点電荷が受ける静電気力	2 乗に反比例する
エ	負の点電荷が受ける静電気力	比例する
オ	負の点電荷が受ける静電気力	関係なく一定である
カ	負の点電荷が受ける静電気力	2 乗に反比例する

この技能の次に学べること

ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））