電場と電位・コンデンサー（知識）の問題
真空中で、電気力線を、電場の強さが の場所では電場に垂直な面 あたり 本の割合で引くと約束する。クーロンの法則の比例定数を とする。
真空中に、電気量 の点電荷 A と、電気量 の点電荷 B を置いた。A だけを内部に囲み、B は外部にあるような閉曲面 S を考える。
「閉曲面 S を内側から外側へ貫く電気力線の本数から、外側から内側へ貫く電気力線の本数を引いたものは（ a ）本である。また、A を内部に、B を外部にしたまま閉曲面 S の形や大きさを変えると、この本数は（ b ）。」
文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、次の表のア〜エのうちから 1 つ選べ。
| a | b | |
|---|---|---|
| ア | 変わらない | |
| イ | 変わる | |
| ウ | 変わる | |
| エ | 変わらない |
この問題で使うもの
- ガウスの法則（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（5 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
「電気力線とガウスの法則」の知識を使います。閉曲面を貫く電気力線の本数が何で決まるかを思い出しましょう。
ヒント 2
電気量 の点電荷からは 本の電気力線が出ます。閉曲面を貫く本数（出る本数から入る本数を引いたもの）は、閉曲面の内部にある電気量の総和だけで決まります。
ヒント 3
外部にある B から出た電気力線は、閉曲面に入ってもまた出ていくので差し引き 0 になります。したがって、数えるのは内部の A の電気量だけです。これで a の値が決まります。
答えと解説
答えを見る
エ
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解説を読む
使う知識は「電気力線とガウスの法則」です。一歩ずつ考えます。
手順 1 点電荷から出る電気力線の本数を確かめる
電気量 の点電荷を中心とする半径 の球面上では、電場の強さは で、電場は球面に垂直です。球面の面積は なので、球面を貫く電気力線の本数は
となり、 によりません。つまり、電気量 の点電荷からは 本の電気力線が出ています。
手順 2 ガウスの法則を使う（a）
ガウスの法則によると、任意の閉曲面を内側から外側へ貫く電気力線の本数（外側から内側へ貫く本数を引いたもの）は、閉曲面の 内部にある電気量の総和 だけで決まり、内部の電気量の総和が なら 本です。
閉曲面 S の内部にあるのは A（電気量 ）だけなので、本数は
です。
外部にある B から出る電気力線は、S を貫くとしても、外側から入った電気力線は必ずどこかで外側へ出ていくので、差し引きの本数には影響しません。したがって、B の電気量を加えた にはなりません。
手順 3 閉曲面の形や大きさを変えたとき（b）
本数は内部の電気量の総和だけで決まるので、A を内部、B を外部にしたままなら、閉曲面の形や大きさを変えても本数は 変わりません。
よって、a は 、b は「変わらない」で、正解は エ です。
ほかの選択肢について
- ア・ウ: は外部の B の電気量まで含めた本数であり、外部の電荷は差し引きの本数に影響しないので誤りです。
- イ・ウ: 本数は内部の電気量の総和だけで決まり、閉曲面の形や大きさにはよらないので「変わる」は誤りです。
別解
ガウスの法則により、電気量 の内部電荷から出る電気力線は 本。S の内部の電荷は A の のみ（B は外部で、外部の電荷による電気力線は S を貫いて入り、同じ数だけ出るので正味 0）。よって正味の本数は （a）。A を内部に B を外部にしたまま S の形や大きさを変えても、内部の電荷は変わらないので本数は変わらない（b）。よってエ。