ガウスの法則による電場

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱があり、その内部にだけ電荷が分布している。中心軸からの距離を $s$ とすると、電荷密度は
$$\rho (s)={\rho }_0\frac{s}{a}(0\leqq s\leqq a)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。円柱の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

円柱の内部で中心軸からの距離が $r$（$0<r<a$）の点 P における電場の大きさ $E$ を、${\rho }_0$, $a$, $r$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱があり、その内部に正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。円柱の外部に電荷はない。円柱の中心軸上の点を O、中心軸からの距離が $2a$ の点を P とする。O と P の電位差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部と外部の誘電率はどちらも ${\epsilon }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。

真空中に、中心 O、内半径 $a$、外半径 $2a$（$a>0$）の厚い球殻があり、球殻の部分 $a\leqq r\leqq 2a$（$r$ は O からの距離）にだけ、正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。O からの距離が $\frac{3}{2}a$ の点 P での電場の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、球殻の部分の誘電率も ${\epsilon }_0$ とし、電荷は静止しているものとする。

一様なプラズマの中に、点電荷 $q$（$q>0$）の試験電荷を原点に置く。プラズマの電荷が再配置して試験電荷が遮蔽された結果、原点からの距離 $r$（$r>0$）での静電ポテンシャルは、デバイ長 ${\lambda }_D$ を用いて
$$\varphi (r)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}\exp \left(-\frac{r}{{\lambda }_D}\right)$$
で与えられるとする（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、SI 単位系）。

原点を中心とする半径 ${\lambda }_D$ の球の内部にあるプラズマの遮蔽電荷（試験電荷 $q$ を除いた、プラズマが再配置してできた電荷の総和）を $Q_{\mathrm{s}}$ とする。比 $\frac{Q_{\mathrm{s}}}{q}$ を正確な値で求めよ。

真空中に、$x$ 軸に垂直な無限に広い平板状の領域 $-d\leqq x\leqq d$（$d>0$）があり、この領域の内部にだけ電荷が分布している。電荷密度は $x$ だけの関数で、$$\rho (x)={\rho }_0\frac{x^2}{d^2}(-d\leqq x\leqq d)$$ である（${\rho }_0>0$ は定数）。領域の外部に電荷はない。外部から加えた電場はなく、電場はこの電荷分布だけがつくるものとする。したがって電場は $x$ 成分 $E(x)$ だけをもち、平面 $x=0$ に関して対称（$E(-x)=-E(x)$）である。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。平面 $x=0$ 上の点の電位を $\varphi (0)$、平面 $x=d$ 上の点の電位を $\varphi (d)$ とするとき、電位差 $\varphi (0)-\varphi (d)$ を ${\rho }_0$, $d$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中（誘電率 ${ϵ}_0$）に、2 枚の平面 $x=-d$ と $x=d$ ではさまれた、$y$ 方向と $z$ 方向に無限に広い板状の領域がある（$d>0$）。この領域の内部にだけ電荷が分布しており、その体積密度は
$$\rho (x)={\rho }_0\left(1-\frac{x^2}{d^2}\right)(-d\leqq x\leqq d)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。領域の外部 $|x|>d$ に電荷はない。原点を O、$x$ 軸上の $x=2d$ の点を P とする。

点 O の電位 $V_{\mathrm{O}}$ と点 P の電位 $V_{\mathrm{P}}$ の差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、${\rho }_0,d,{ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の球の内部にだけ電荷が分布している。中心 O からの距離を $r$ とすると、電荷密度は
$$\rho (r)={\rho }_0\left(1-\frac{r}{a}\right)(0\leqq r\leqq a)$$
であり、$r>a$ には電荷はない（${\rho }_0>0$ は定数）。球の内部も外部も誘電率は真空の誘電率 ${\epsilon }_0$ とし、電荷は静止しているものとする。この電荷分布がもつ静電エネルギー $W$（電場のエネルギー $W=\frac{{\epsilon }_0}{2}\int |\mathbf{E}{|}^{2}dV$ を全空間で積分したもの）を、${\rho }_0$, $a$, ${\epsilon }_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の球がある。この球の内部から、中心 $\mathrm{C}$、半径 $b$ の球形の部分をくりぬいて空洞にした。ただし $\mathrm{OC}=d$ であり、$0<b<d$、$d+b<R$ とする（空洞は球の内部にあり、点 $\mathrm{O}$ は空洞の外にある）。空洞を除いた部分には、一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で電荷が分布しており、空洞の中は真空である。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{C}$ の電位差 $\varphi (\mathrm{O})-\varphi (\mathrm{C})$ を、$\rho ,b,d,{\epsilon }_0$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中に、$z$ 軸を共通の中心軸とする、半径 $a$ の導体円柱（内導体）と内半径 $b(b>a)$ の導体円筒（外導体）からなる、長さ $L$ のまっすぐな同軸ケーブルがある。内導体と外導体のあいだは真空である。ケーブルの一端には直流電源が、他端には抵抗がつながれていて、内導体の電位は外導体より $V(V>0)$ だけ高く保たれ、内導体には $z$ 軸の正の向きに、外導体には負の向きに、それぞれ大きさ $I(I>0)$ の一定の電流が流れている。

ケーブルの両端付近の場の乱れは無視し、内導体と外導体のあいだ（$a<r<b$、$r$ は中心軸からの距離）の電場と磁場は、十分長い同軸ケーブルの静的な場と同じであるとする。また、導体の抵抗は無視でき、両導体の電位はそれぞれ長さ方向に一定とみなす。真空の誘電率と透磁率を ${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

電磁場の運動量密度を $\mathbf{g}={\epsilon }_0\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ として、内導体と外導体のあいだの領域（$a<r<b$、長さ $L$）にある電磁場の運動量の大きさを、$V$, $I$, $L$, $c$ を用いて表せ。

電子（電荷 $-e$）と 1 価の陽イオン（電荷 $+e$）からなる一様なプラズマが熱平衡にあり、遠方での電子とイオンの数密度はどちらも $n_0$ である。ここで $e$ は電気素量である。電子の温度を $T_e$、イオンの温度を $T_i=\frac{T_e}{3}$ とする。SI 単位系を用い、${\epsilon }_0$ を真空の誘電率、$k_B$ をボルツマン定数とする。

このプラズマの中の原点に、点電荷 $Q$（$Q>0$）を固定して置いた。十分時間がたった後、電子とイオンはどちらも静電ポテンシャル $\varphi (\mathbf{r})$ の中でボルツマン分布
$$n_e=n_0\exp \left(\frac{e\varphi }{k_B{T}_e}\right),n_i=n_0\exp \left(-\frac{e\varphi }{k_B{T}_i}\right)$$
に従うとする。$|e\varphi |$ は $k_B{T}_e$ と $k_B{T}_i$ のどちらよりも十分小さいとして指数関数を 1 次まで展開し、$\varphi$ は無限遠で $0$、原点の近くでは $\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ に近づくとする。

電子のデバイ長を ${\lambda }_e=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_0{e}^2}}$ と定義する。原点を中心とする半径 ${\lambda }_e$ の球の内部にある電荷の総量（点電荷 $Q$ と、プラズマに誘起された電荷の和）を $Q_{\mathrm{enc}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{Q}$ を正確な値で求めよ。ただし、答えに自然対数の底が現れる場合は $\exp (\cdot )$ を用いて表せ。