電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、$x$ 軸に垂直な無限に広い平板状の領域 $-d\leqq x\leqq d$（$d>0$）があり、この領域の内部にだけ電荷が分布している。電荷密度は $x$ だけの関数で、$$\rho (x)={\rho }_0\frac{x^2}{d^2}(-d\leqq x\leqq d)$$ である（${\rho }_0>0$ は定数）。領域の外部に電荷はない。外部から加えた電場はなく、電場はこの電荷分布だけがつくるものとする。したがって電場は $x$ 成分 $E(x)$ だけをもち、平面 $x=0$ に関して対称（$E(-x)=-E(x)$）である。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。平面 $x=0$ 上の点の電位を $\varphi (0)$、平面 $x=d$ 上の点の電位を $\varphi (d)$ とするとき、電位差 $\varphi (0)-\varphi (d)$ を ${\rho }_0$, $d$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の球があり、その内部に全電荷 $Q$（$Q>0$）が一様に分布している。球の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。O からの距離を $r$ とすると、電場は O から放射状外向きで、その大きさは
$$E(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{Qr}{4\pi {ϵ}_0{a}^3}& (0\leqq r\leqq a)\\ \frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}& (r\geqq a)\end{array}$$
である。

無限遠を電位の基準（電位 $0$）とするとき、中心 O の電位 $V_{\mathrm{O}}$ を $Q$, $a$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の球の内部にだけ電荷が分布している。中心 O からの距離を $r$ とすると、電荷密度は
$$\rho (r)={\rho }_0\left(1-\frac{r}{a}\right)(0\leqq r\leqq a)$$
であり、$r>a$ には電荷はない（${\rho }_0>0$ は定数）。球の内部も外部も誘電率は真空の誘電率 ${\epsilon }_0$ とし、電荷は静止しているものとする。この電荷分布がもつ静電エネルギー $W$（電場のエネルギー $W=\frac{{\epsilon }_0}{2}\int |\mathbf{E}{|}^{2}dV$ を全空間で積分したもの）を、${\rho }_0$, $a$, ${\epsilon }_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $R$（$R>0$）の薄い導体球殻があり、電荷 $Q$ が球殻の表面に一様に分布している。ほかに電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とし、電場のエネルギー密度は $u=\frac{{ϵ}_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2$ で与えられるものとする。

中心 O からの距離 $r$ が $R<r<2R$ を満たす領域（球殻の外側で、半径 $2R$ の球面の内側）の電場がもつエネルギー $W$ を、$Q$, $R$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱があり、その内部に正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。円柱の外部に電荷はない。円柱の中心軸上の点を O、中心軸からの距離が $2a$ の点を P とする。O と P の電位差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部と外部の誘電率はどちらも ${\epsilon }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。